直角三角形与动态问题(1)——中考备考系列[尖子生之路]
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直角三角形与动态问题(1)
【试题1】如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P、Q分别为边BC、AB上的两个动点,若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,则AQ= .
【图文解析】
根据已知条件,通过画图,要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形只有下列两种情况:
①AQ=PQ且∠BQP=90°(如图①);
②AQ=PQ且∠BPQ=90°(如图②).
第一种情况分析如下:
由tanB=PQ/BQ=AC/BC得:
x/(10-x)=6/8,解得x=15/7.
当然也可由△PBQ∽△ABC求得.
第二种情况分析如下:
由sinB=PQ/BQ=AC/AB,得:
x/(10-x)=6/10,解得x=15/4.
当然也可由△PBQ∽△ABC求得.
综上所述,AQ=15/7或15/4.
【试题2】如果三角形的两个内角α 与β 满足 2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是”准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B=____;
(2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是”准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是”准互余三角形”,求对角线AC的长.
【图文解析】
(1)根据“准互余三角形“的定义可得2∠B+∠A=90°,所以∠B=0.5(900-∠A)=150.
(2)若存在一点E,使得△ABE也是准互余三角形,则2∠EBA+∠EAB=900.
显然需将2∠EBA转化为一个角,可利用角平分线的对称性,构造射线BF,交AE的延长线于F,使∠ABF=2∠EBA.则有∠AFB=900,如下图示:
进一步,根据两角相等,不难得到:△BEF∽△BAC,根据相似的性质,可得: BF:EF=BC:AC=5:4,可设BF=5t,EF=4t.如下图示:
在Rt△AEC中,CE=AC/tan∠AEC=AC/tan∠BEF=4÷(5t)/(4t)=3.2
BE=BC-CE=5-3.2=1.8.
(3)类似(2),先将∠ABD=2∠BCD通过对称进行转化:作△BCD关于BC对称的△BCE,可得到BE=BD,CD=CE=12,∠DCE=2∠BCD,从而得到∠ABD=∠DCE.如下图示:
【图文解析】
在四边形BDCE中,∠BDE=∠E=900,由四边形内角和的定理可得∠DBE+∠DCE=1800,进一步,得∠ABD+∠DBE=1800,即A、B、E三点共线.
又△ABC是"准互余三角形",根据定义可得:2∠ACB+∠BAC=90°或2∠BAC+∠ACB=90°.
由于2∠ACB+∠BAC<ACE+∠BAC=900,所以只有2∠BAC+∠ACB=90°存在.又因∠E=900,得∠ACE+∠CAE=900,所以2∠BAC+∠ACB=∠ACE+∠CAE,如下图示:
【变式训练】
如图,在四边形ABCD中, CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是”准互余三角形”,AC=20,求AB的长.
答案:AB=7.
【试题3】已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且DC/BE=AC/BC=m,连接AE,过点D作DM⊥AE,垂足为点M,延长DM交AB于点F.
(1)如图①,过点E作EH⊥AB于点H,连接DH.
①
①求证:四边形DHEC是平行四边形;
②若m=√2/2,求证AE=DF;
(2)如图②,若m=3/5,求DF/AE值.
②
【图文解析】
(1) ①由三角函数的定义或相似,结合已知条件不难得到HE=DC,如下图示:
由EH⊥AB及∠BAC=900可得:
HE∥AC,即HE∥DC;在Rt△ABC和Rt△BEH中,sinB=HE/BE=AC/BC,而DC/BE=AC/BC,得HE/BE=DC/BE,所以HE=DC;因此四边形DHEC是平行四边形.
②当m=√2/2时,sinB=AC/BC=m==√2/2,可得∠B=450.即△ABC和△BEH均为等腰直角三角形.
进一步地,得到:
因此,△AEH≌△DAF,得到AE=DF.
(2)当m=3/5时,如下图示:
不难证得△AHE∽△DAF,得到DF/AE=AD/AH.
另一方面,由(1)知:sin∠B=HE/BE=AC/BC=m=3/5,且HE=DC,可设HE=DC=3a,AC=3b,则BE=5a,BC=5b,进一步,得:(如下图示)
所以AH=4(b-a),AD=3(b-a),得到AD/AH=3/4.
综上可得,DF/AE=3/4.
【拓展延伸】
已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且DC/BE=AC/BC=3/5,且D是AC的中点,连接AE,过点D作DM⊥AE,垂足为点M,延长DM交AB于点F.求MF/MD值.
答案:9:16.
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【试题4】在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.
(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示).
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.
【图文解析】
(1)先证:∠Q=∠PAC=α.如下图示:
方法一:分别在Rt△APC和Rt△QPH中,根据"直角三角形两锐角互余",得:∠Q=90°-∠1,∠PAC=90°-∠1,从而∠Q=∠PAC=α.
方法二:分别在Rt△APC和Rt△QPH中,根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内容和”,得:∠APB=90°+∠PAC=90°+∠Q,从而∠Q=∠PAC=α.
再求∠AMQ的大小,如下图示:
在△BQM中,根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内容和”,得:∠AMQ=∠B+∠Q=45°+α.
延伸:若点P在直线BC上呢?并画出相应的图形.(解法类似)
(2)先探索:线段MB与PQ之间的数量关系.可以将P点特殊化.当P点与B点重合时,如下图示:
显然,△PAQ为等直角三角形,因此PQ=根号2×MB,即MB=2分之根号2×PQ.再通过度量,大胆猜想:MB=2分之根号2×PQ.
由“根号2”自然联想到“45°的角(或等腰直角三角形)”,当然应该与BM和PQ紧密相关的45°的角,同时PQ=2PC=2CQ,只要与PC、BM或CQ相关的角即可。由于∠B是现成的45°的角,可加以充分利用,由此可添加如下图所示的辅助线:
由已知可得AP=AQ,PQ=2PC=2CQ,同时△BME是等腰直角三角形,得到BM=根号2×ME.接着只须考虑:ME=CP(或CQ)?可找到对应的两个三角形,如下图示:
显然已有∠1=∠2,∠3=∠4,只需再一对应边相等,就可以了。结合已有条件AP=AQ,只需证明AQ=QM即可.
如上图示,不难证得:∠QAB=45°+∠2,∠AMQ=45°+∠1,∠1=∠2,从而∠QAB=∠AMQ,得到AQ=AM,进一步得到AP=QM,从而得到△ACP≌△QME,所以ME=CP,因此:
答案如下:
PQ=MB.理由如下:
连接AQ,过点M做ME⊥QB,
∵AC⊥QP,CQ=CP,∴∠QAC=∠PAC=α,
∴∠QAM=α+45°=∠AMQ,∴AP=AQ=QM,
拓展:若点P在直线BC上呢?
(解法类似,结论完全相同.)
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