回顾近两年福建中考数学的倒一试题，基于核心素养下的思考并展望…

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回顾近两年福建中考数学的倒一试题，基于核心素养下的思考并展望… 

——中考压轴题复习教学体会（11）

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注：对近两年福建中考数学倒一试题及解析的对比与思考，文后分享本人的粗浅思考与体会．

【2017·福建】已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M(1，0)，且a<b．

（1）求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示)；

（2）说明直线与抛物线有两个交点；

（3）直线与抛物线的另一个交点记为N.

   (i)若-1<a<1/2，求线段MN长度的取值范围；

   (ii)求△QMN面积的最小值.

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【图文解析】

（1）与（2）属于常规题，通解通法，不做详细解析.答案如下：

法二：联立直线y=2x-2＝2(x-1)与抛物线y=ax²+ax+b=ax²+ax-2a=a(x+1)(x-2)的解析式，得a(x+1)(x-2)＝2(x-1)…

（3）(i)①N点（交点）的求法：

（下列仅提供两种计算方法（思路相同）

法一（标法——通法）：

（当然用相似来解，方法类似）

法三（最快解法）：再次细心观察动态图：

       可以发现：MN的长随着a的值的增大而增大（思考一下：为什么？）.

法二：添加如下图示的辅助线.

提示：先由M、Q点求出直线QM的解析式，再根据C的纵坐标与N点的纵坐标相同，求出C点坐标，再根据△QMN的面积＝△QNC的面积－△MNC的面积，…….

法三：添加如下图示的辅助线.

提示：与法二类似，先求出G点坐标，…，再根据△QMN的面积＝△MNG的面积－△QNG的面积，…….

法四：添加如下图示的辅助线.

   提示：△QMN的面积＝梯形QNDC的面积－△MND的面积－△MCQ的面积，…….

法五：添加如下图示的辅助线.

   提示：△QMN的面积＝△DQM的面积－△MND的面积－△DNQ的面积，…….

法六：添加如下图示的辅助线.

   提示：先求出直线QN的解析式（用含a的代数式表示），再求出B的坐标，从而得到BM的长，然后根据△QMN的面积＝△BMN的面积+△BMQ的面积，…….

反思：上述几种求面积的方法都是很常用的方法，其解题思路是“化斜为直”，“化一般为特殊”，利用点的坐标特点，得到相关的线段和距离，从而得到所要求的面积。

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【反思】上述的第一种解法通过建立一元二次方程模型，巧妙利用根的判别式进行突破．

【拓展1】已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M(1，0)，顶点为Q，且a<b，直线与抛物线的另一个交点为N.当-1<a<1/2时，求线段NQ的长的取值范围；

【拓展2】已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M(1，0)，且a<b．抛物线与y轴交于点Q．直线与抛物线的另一个交点为N.当-1<a<1/2，求点Q到直线MN的距离的最小值.

【拓展3】已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M(1，0)，顶点为Q，直线与抛物线的另一个交点为N.当△QMN为直角三角形时，求a的值．

【拓展4】已知直线y=mx+n与抛物线y=ax²+ax+m有一个公共点M(1，0)，且a<b．

（1）说明直线与抛物线有两个交点；

（2）直线与抛物线的另一个交点记为N.

   (i) 若-1<m<1/2，求线段MN长度的取值范围；

   (ii) 求△QMN面积的最小值.

（上述拓展问题只做研讨交流，其中数据尚未完全验证，故不提供答案，可留言交流）

【2018·福建】已知抛物线y＝ax²＋bx＋c过点A (0，2)．

(1)若点(－√2，0)也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；

(2)若抛物线上任意不同两点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)都满足：当x₁＜ x₂＜0时，(x₁-x₂)(y₁-y₂)>0；当0＜x₁＜ x₂时，(x₁-x₂)(y₁-y₂)＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．

①求抛物线的解析式；

②若点P与点O关于点A对称，且O、M、N三点共线，求证：PA平分∠MPN．

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【图文解析】

（1）常规题，不做详细解析，答案如下：

由点P与点O关于点A (0，2)对称，所以OP＝2OA＝4，所以点P（0，4）．

若点M、N均落在x轴上，根据抛物线的对称性，此时显然PA平分∠MPN．若点M、N不在x轴上，设点N（m，-m²+2）．根据M、O、N在同一直线上，可设直线MN为y=kx，将点N（m，-m²+2）代入，可求得－m²+2=km，解得k=－m+2/m．所以直线MN为y=(－m+2/m)x．如下图示：

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【反思】理解题中关于“函数增减性“符号语言，通过数形结合找到解决问题的方法，同时需熟练掌握掌握含参的数式与方程的运算．

【拓展1】已知抛物线y＝ax²＋2与y轴交于点A．经过原点O的直线MN与抛物线交于M、N两点，且点P与原点O关于点A对称，连接PM、PN．求证：PA平分∠MPN．

【拓展2】已知抛物线y＝ax²＋c与y轴交于点A．经过原点O的直线MN与抛物线交于M、N两点，且点P与原点O关于点A对称，连接PM、PN．求证：PA平分∠MPN．

【拓展3】已知抛物线y＝ax²＋c与y轴交于点A．经过点Q的直线MN与抛物线交于M、N两点，且点P与点Q（0，t）关于点A对称，连接PM、PN．求证：PA平分∠MPN．

【拓展4】已知抛物线y＝ax²＋bx+c的顶点为A．点Q是抛物线对称轴上的一点，经过点Q的直线MN与抛物线交于M、N两点，且点P与点Q关于点A对称，连接PM、PN．求证：PA平分∠MPN．

【拓展5】在原题的第3小题中，过点P作直线l∥x轴，再分别过点M、N作直线l的垂线段ME和DN，如下图示，△PME、△MPN和△PDN的面积分别是为S₁、S₂和S₃，求证：S₂²＝4S₁×S₃．

若将本题的抛物线的位置进行适当更改，即可得到2019年九上福州市质检的倒一压轴题，如下图示：

【拓展6—10】类似将上述的拓展1—4的所有问题，都用类似拓展5的方法添加相关线条，上述的结论仍然成立．

（上述问题只做研讨，不提供答案）

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【思考与体会】

1．题中所提供的均带有特殊形式的二次函数（y=ax²+ax+b和y=ax²+2）．

2．均在直线与抛物线相交的背景下，与几何相结合的问题．同时交点坐标均为整式或分式（即不含根式）．

3．若以知识点内容所占的分值比例思考，几何内容所占的分量不大，而且易入手．

4．数式与方程不等式相关的含参计算和计算技巧的考查均定位为“重头戏“．

5．在试题内容和解答（特别是含参计算）中，均能感受到：函数相关性质的渗透．

6．解题思路均可从多处入手，且均渗透常用的计算技巧．

7．试题与解答中均渗透着初高中衔接的相关知识，对高中的教学起着一定的指导作用．

8．试题均可作为很好的“题源“，具有较广的拓展与延伸作用，同时可渗透的知识点内容也较多，如：增加条件或弱化条件、强化条件均可编制出较好的试题，对压轴题的教学具有一定的指导意义．

9．福建九地市的近两年的一检、二检的压轴题中也均可找到多道类似的试题．

10．注意体会解题思路和其中的计算，定会收获不少，尤其是含参的计算．

【建议】阅读完本文，非常希望看到读者们的感受与思考.如果你有不同的想法和体会，或者深层次的思考，请留言分享！

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【今日分享】——分享快乐！

1．福建九地市九下质检压轴试题的几何画板课件，具体分享办法见"分享快乐(2)——分享了，才会真正感受到快乐"（点击打开文章）

2.《几何画板》622分钟视频教程中的课件（也是我的第一场讲座的几何画板课件

3．微店也同时开展“六·一优惠”活动．

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中考压轴题复习教学体会系列

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