压轴解析｜纯函数（1）—九上期末质检复习（2019版）

（2017·福州）二次函数y=(x－2m)²+m²，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是___________.【解析】抛物线的对称轴为x=2m且开口向上，因此在对称轴左侧（即x<2m）y随x的增大而减小.所以“m＜x＜m+1“的取值应在x<2m的范围内，所以m+1≤2m，解得m≥1.因此答案为m≥1.（2017·福州）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（x，｜x－y|），则称点Q为点P的“关联点”．（1）请直接写出点（2，2）的“关联点”的坐标；（2）如果点P在函数y=x－1的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y=x²的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．【解析】（1）根据定义，直接可得：（2，2）的“关联点”为（2，0）．（2）由“P（x，y）在y＝x－1的图象上“可知：P（x，x－1），得到它的”关联点“Q为（x，1）．由于点Q与点P重合，所以x－1=1，解得x=2,所以P（2，1）．（3）由M（m，n）和“关联点“的定义知：N（m，｜m－n|）．在N在函数y=x²的图象上，所以有｜m－n|＝m².根据绝对值的意义，可分成下列两种情况（去掉绝对值符号）1）当m<n时，则n－m＝m²，得到n＝m²+m.所以M（m，m²+m），N（m，m²）.进一步地得到：MN＝｜y_M－y_N｜=｜m²+m－m²｜=m(0≤m≤2).因此，当m=2时，MN有最大值2．2）当m≥n时，则m－n＝m²，得到n＝－m²+m.所以M（m，－m²+m），N（m，m²）.进一步地得到：MN＝｜y_M－y_N｜=｜－m²+m－m²｜=｜－2m²+m｜(0≤m≤2)=m｜－2m+1｜.①当0≤m≤1/2时，MN＝－2m²+m＝－2(m－1/4)²+1/8，所以当m=1/4时，MN有最大值为1/8.②当1/2≤m≤2时，MN＝2m²－m，所以当m=2时，MN有最大值为6（代入求得）.综上所述，当m=2时，MN有最大值为6.（2016·南平）已知函数y＝mx²＋(2m＋1)x＋2(m为实数)．
（1）请探究该函数图象与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（2）在图中给出的平面直角坐标系中分别画出m=－1和m=1的函数图象，并根据图象直接写出它们的交点坐标________________；（3）探究：对任意实数m，函数的图象是否一定过（2）中的点，并说明理由.【图文解析】
（1）试题本身并没说明是什么函数，因此要分m＝0和m≠0两种情况讨论：①当m＝0时，函数y＝x＋2为一次函数，与x轴有一个公共点.②当m≠0时，函数y＝mx²＋(2m＋1)x＋2为二次函数，此时，应根据判别式△的符号进行判断.由于△＝(2m＋1)²－8m＝4m²+4m＋1-8m＝(2m-1)²≥0.所以当m＝0.5时，二次函数图像与x轴有一个公共点； 当m≠0.5时，二次函数图像与x轴有两个公共点；综上所述，当m＝0或0.5时，函数图象与轴有一个公共点；当m≠0且m≠0.5时，函数图象与轴有两个公共点.（2）当m＝－1时，函数解析式为：y＝－x²－x＋2，当m＝1时，函数解析式为：y＝x²+3x＋2，通过列表、描点、连线，可得到如下图示的图象.通过列表和图象，不难得到：它们的交点坐标为（－2，0），（0，2）；
（3）方法一：（通法）对于函数y＝mx²＋(2m＋1)x＋2， 当x＝-2时，y＝4m－4m－2＋2＝0，函数y＝mx²＋(2m＋1)x＋2经过点（-2，0）；对于函数y＝mx²＋(2m＋1)x＋2，当x＝0时，y＝2，函数y＝mx²＋(2m＋1)x＋2经过点（0，2）；综上所述，函数y＝mx²＋(2m＋1)x＋2一定过（-2，0），（0，2）两点.方法二：（定点定义法）将函数y＝mx²＋(2m＋1)x＋2进行化简、整理，整理成一边含m的式子，另一边不含m的式子，得到： (x²＋2x)m＝y－x－2由于m为任意实数，且上述式子恒成立的，则根据“0乘以任何数都得0”可得到：上式式子(x²＋2x)m＝y－x－2恒成立，即y＝mx²＋(2m＋1)x＋2恒成立，因此函数y＝mx²＋(2m＋1)x＋2一定过（-2，0），（0，2）两点.（2016·厦门）已知y₁＝a₁(x－m)²＋5，点(m，25)在抛物线y₂＝a₂ x²＋b₂x＋c₂上，其中m＞0.
（1）若a₁＝－1，点(1，4)在抛物线y₁＝a₁(x－m)²＋5上，求m的值；（2）记O为坐标原点，抛物线y₂＝a₂x²＋b₂x＋c₂的顶点为M．若c₂＝0，点A(2，0)在此抛物线上，∠OMA＝90°求点M的坐标；（3）若y₁＋y₂＝x²＋16 x＋13，且4a₂c₂－b₂²＝－8a₂，求抛物线y₂＝a₂x²＋b₂x＋c₂的解析式.【简析】（1）依题意，得y₁＝－(x－m)²＋5.将点(1，4)代入，可解得m₁＝0（舍去），m₂＝2 .即m的值为2.（2）由“c₂＝0，点A(2，0)在此抛物线上”可得：4a₂＋2b₂＝0.即b₂＝－2a₂.所以y₂＝a₂x²－2a₂x＝a₂(x－1)²－a₂，得到顶点M（1，a₂），如下图示：由∠OMA＝90°不难得到M（1，1）或（1，－1）.
（3）首先，由“点(m，25)在抛物线y₂＝a₂ x²＋b₂x＋c₂上”得：当x=m时，y₂＝25；由“y₁＝a₁(x－m)²＋5”知：当x=m时，y₁＝5；因此当x=m时，y₁＋y₂＝5＋25＝30. 另一方面，由“y₁＋y₂＝x²＋16 x＋13”知，当x=m时，y₁＋y₂＝m²＋16 m＋13.所以m²＋16 m＋13＝30.解得m₁=1，m₂=－17(因m>0，舍去)所以y₁＝a₁(x－1)²＋5， 已知关于x的二次函数f(x)=-x²+6x-5,则设f(kx)(k＞0）与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧）.（1）求证：f（kx）必过一个定点C；（2）若f（kx）的顶点为P，对称轴交抛物线f（x）于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点H，当△PQH与△AOC相似时，求k的值；（3）当2≤x≤3时，f（kx）有最大值为2k，求k的值.【解析】（1）由题意，得：f(kx)= -(kx)²+6kx-5=-k²x²+6kx -5,当x=0时，y=-5，即f（kx）必过一个定点C（0，-5）；如下图示，（2）由f(kx)=-k²x²+6kx-5=-k²（x- 3/k)²+4,可得抛物线顶点P为（3/k，4），Q（3/k，0），H（0,4），令f(kx)=0，得-k²（x-3/k)²+4=0，解得：x_A =1/k，x_B =5/k，如下图示：
由△PQH与△AOC相似知：
       ①当△PHQ∽△OAC时，      ∠PHQ=∠OAC，即       tan∠PHQ=tan∠OAC，  反思：本质上，应该注意判别式，因为本题中△=16k²＞0，所以不再限制结果，在其他题目中应该适当注意.— END —热门推荐：三角形与四边形（4）——九上期末质检复习

《初中数学延伸课堂》相关图书介绍与购买（点击了解，初中数学各类培优辅导用书齐全，共17册，其中《尖子生之路》7册，为本人独立编写的培优用书）

延伸阅读：

班主任提醒：期末考试前，聪明的家长都在这5件事上下功夫，孩子的成绩还能涨涨涨！

期末考试前，老师写给学生一封信：孩子，只要肯努力，一切都来得及！

致家长：毁掉一个孩子最快的方式，就是在这4件事上放纵！

期末考试前，老师写给学生一封信：孩子，只要肯努力，一切都来得及！

毁掉孩子一生的杀手，不是游戏，不是贪玩，而是......

关注公众号	相关图书购买微店
扫码关注后……