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【例1】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF.
(1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:①BD⊥CF.②CF=BC﹣CD.
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其它条件不变,请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A、F分别在直线BC的两侧,其它条件不变:①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状,并说明理由.
【图文解析】(1)如下图解.
(2)与(1)类似:此时CF=BC+CD(=BD).(3)①与(1)同理可得BD=CF,然后结合图形可得CF=CD﹣BC,如下图示:②上图中,通过△BAD≌△CAF,可得到∠ACF=∠ABD=1800-∠ABC=1350,从而∠BCF=∠ACF-∠ACB=900,如下图示:得△CDF为直角三角形.同时由正方形ADEF可得到∠DAF=900,OF=OD(即O是DF的中点),如下图示:分别在直角三角形DAF和CDF中,根据“直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半”可得到OA=0.5DF,OC=0.5DF,所以OA=OC,从而△AOC是等腰三角形.
【拓展】已知:在△ABC中,∠ACB=450,点D为直线BC上一动点,以AD为边向右侧作正方形ADEF,连接CE.O为正方形对角线的交点,连接OC,连接OC,探究△AOC的形状,并说明理由.
【提示】与原题类似,先证∠ACE=900.
【例2】已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,动点P在边BC上运动,连接DP,作CN⊥DP于点M,且交边AB于点N,连接OP,ON.(1)求证:①BN=CP;②OP=ON,且OP⊥ON;(2)设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.【图文解析】(1)根据正方形的性质及“CN⊥DP“有了下列常用思路(之前多篇文章中已多次说明,需熟练掌握哦!):通过AAS或ASA全等,得BN=CP.进一步地,又可得到:再通过SAS证明△BON≌△COP,得OP=ON,∠BON=∠COP,所以∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP,即∠PON=∠BOC=900(根据正方形的对角线互相垂直).因此OP⊥ON.
(2)不规则图形面积,应化为规则图形面积.如下图示:
由(1)知:△BON≌△COP,得S△OBN=S△COP,得S四边形OPBN=S△BON+S△BOP=S△COP+S△BOP=S△BOC=0.25×S正方形ABCD=0.25×42=4.即y=4(定值,与x无关,此时P在边BC上).
也可用下列方法来求解,虽麻烦,但却也是最常用的解题思路:因BD平分∠ABC(正方形对角线平分一组对角),自然会联想到角平分线的性质,可添加下列辅助线:
根据HL可得到△NOE≌△POF,因此S△NOE=S△POF.从而:
【拓展】已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,动点P在边BC的延长线上运动,连接DP,作CN⊥DP于点M,且交边AB的延长线于点N,连接OP,ON.
(1)求证:①BN=CP;②OP=ON,且OP⊥ON;(2)设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.
【例3】已知,正方形ABCD中,点M点在边BC上,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转时,判断AH与AB的数量关系?并说明理由;(2)如图②,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)
【图文解析】(1)
所以△ANM‘≌△ANM,且MN=M‘N,从而S△AN M‘=S△ANM.又AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,所以AB=AH. (上述是通过面积公式得到)
当然也可经过再一次全等(△ADN≌△AHN)或者利用“角平分线的性质”得AH=AD=AB.如下图示:
【拓展】将原试题中的“点M在边BC上”改为“点M在边BC(或CB)的延长线上”,AB=AH,仍成立吗?为什么?【解析】如下图示,结论仍然成立.实际上,还能得到:当点M在边BC上时,MN=BM+DN,当点M在边BC的延长线上时,MN=BM-DN,当点M在边CB的延长线上时,MN=DN-BM.
(2)如下图示,
本题解法非常多(至少有十五种以上,但多数方法用相似或三角函数或构造辅助圆),有兴趣的朋友可以到本人的云课(优思数学网:文章后面有详细地址)中的“一线三等角的相关变式应用(45度的角相关)“视频讲解.本文就从第(1)题的结论出发,进行解析,注意体会图形的演化与构成:
先观察图形的演变:
因此,可以可还原成原图求解:
还原1:显然可以勾股定理,求得:
即(x-2)2+(x-3)2=(2+3)2
解得x1=6,x2=-1(舍去).
还原2(变式的还原)其他解法(这里不再叙述).
【拓展】
【例4】如图,正方形ABCD中,E为AD边上的中点,过A作AF⊥BE,交CD边于F,M是AD边上一点,且有BM=DM+CD.
(1)求证:点F是CD边的中点;(2)求证:∠MBC=2∠ABE.
图文解析】(1)简析:可能通过全等,得到证明,如下图示,
不难证明△ABE≌△DAF(ASA),得DF=AE=0.5AD=0.5CD,因此F是CD的中点.(2)与“中点”相关的常见辅助线:倍长对应线段,或因ABCD是正方形,因此延长BF或AF,可达到同样的效果),如下图示:通过全等,不难得BC=CG,同时∠ADG=1800,得到A、D、G三点共线.由于BM=DM+CD,BC=CD,所以BM=DM+BC=DM+DG=GM.如下图示,进一步,得到: 不难得:∠MBC=∠AMB=∠MBC+∠G=2∠G.同时,不难证得△ABE≌△DGF(SAS),得∠G=∠ABE.综上,∠MBC=2∠ABE.
当然也用如下的办法(类似上面的分析,下面只给出图解):
【反思】从解析过程中,还能得到MF⊥BF这个结论.解答中还充分运用了等腰三角形的性质.
【拓展1】如图,正方形ABCD中,E为AD边上的点,过A作AF⊥BE,交CD边于F,M是AD边上一点,且有BM=DM+CD.求证:∠MBC=2∠ABE.【拓展2】如图,正方形ABCD中,E为AD边上的点,过A作AF⊥BE,交CD边于F,M是AD边上一点,且有FM⊥BF.求证:∠MBC=2∠ABE.
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