经典试题赏析｜等腰三角形与直角三角形、角平分线与、差倍分及旋转（两道，适合八上）

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【试题1】如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，

（1）如图1,过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：△BDE为等腰三角形；

（2）如图2,延长BE到D，∠ADB =∠ABC， AF⊥BD于F，AD=2,BF=3,求DF的长

（3）如图3,若AB=AC，AF⊥BD，∠ACD=0.5∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．

【图文解析】

（注：本题的思路与解法与之前较多文章类似，本文只做图解）

（1）图解如下：

（2）法一：

法二：

【试题再现】如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，

（3）如图3,若AB=AC，AF⊥BD，∠ACD=0.5∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．

【图文解析】

法一：

法二：

强调：注意体会，构造“全等的基本图形”在解题的应用．

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（后面还有）

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【试题2】如图，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交AB于点G，过点A作AF⊥AD交CE于点F．

（1）求证：△AGE≌△AFC；

（2）若AB＝AC，求证：AD＝AF＋BD．

【图文解析】

（1）常规思路（必须想到），图解如下：

进一步，还能得到如下图的结论：

（这些结论为第二题的证明提供非常好的“资源”）

（2）当AB＝AC时，AB＝AC＝AE，同时又有多个角相等，如下图示，构造三角形全等，就有多种思路．

而所要证的结论AD＝AF＋BD属于“线段的和差倍分”，通常可通过“取长补短”或旋转、平移、对称等变换进行转化为“线段相等”解决——本公众号已有多篇文章解析（有兴趣的朋友，可关注公众号后输入“取长补短”或“旋转”等关键搜索类似文章）．下面提供几种适合八年级学生的常见的几种证法：

【法一】如下图示：

得BD= CD’＝FD’，……

【法二】过A点作AH⊥CE于点G，交DB的延长线于点H，如下图的图解．

【法三】延长DB，使DH＝AD，连接DH，交CE于点G，如下图的图解：

（注意：与上述解法的区别）

【法四】如下图解

【法五】如下图解

【拓展】如图，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交AB于点G，过点A作AF⊥AD交CE于点F．

（1）求证：△AGE≌△AFC；

（2）若AB＝AC，判断线段AD，AF，BD的数量关系，并说明理由．

注意：与原题的区别，试试看！

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