幻像之花：虚拟的铁磁性 (II)
对称 SOS
曾经朗道问苍穹
对称时兴破缺风
量子如今新入主
依稀漫影亦丛中
编按
本文乃源于美国 Rutgers University 杰出校董教授 Sang-Wook Cheong 最近撰写的一篇文章：Trompe L’oeil Ferromagnetism, npj Quantum Materials 5, 37 (2020)。译者在此基础上“添油加醋”，加以诗意发挥，草成本文。全文之第一部分已刊发于《幻像之花：虚拟的铁磁性(I)》，这里刊发第二部分。这部分的内容让我们看到，这种“虚拟铁磁性”行为竟然很有市场、能够在量子功能材料领域大行其道。
当然，再一次说明：译文不到之处颇多，敬请读者见谅。
7. 霍尔效应
我们高中就学过霍尔效应：处于磁场中的电流，会受到洛伦兹力作用而发生垂直偏转，从而在样本两端形成电势差(诱导电压)。事实上，霍尔效应一直是凝聚态物理研究的主流方向之一，它也是一种准平衡过程。注意到，霍尔效应里包含着“磁”这一重要元素(磁场、轴向相互作用等)，因此不可避免会被诸如物理人等无孔不入之辈拿来把玩。
那好，姑且就对与霍尔效应相关的 Trompe L’oeil 铁磁来探讨一二。
回顾一下前文所示的图 5(c)，这个简单的霍尔测试模式实际上展示了四种不同的组合：(Eext , +, -)、(Eext , h, c)、(ΔT, +, -) 和 (ΔT, h, c)，它们分别对应着霍尔效应、爱廷豪森 (Ettingshausen) 效应、能斯特 (Nernst) 效应以及热 (Thermal) 霍尔效应。这里，“h: hot, c: cold”代表诱导产生的霍尔热梯度。由于它们的形式非常相似，故本文将它们统称为霍尔效应。需要注意的是，当霍尔效应发生在一些磁性材料中时，如果将磁矩等效为内建磁场，则这些体系会展现所谓的“反常”霍尔效应。这一效应最近几年展现了诸多新颖的新物理，将另文班门弄斧、在此不表。
接下来，将通过分析“非零M 的 SOS”，来理解各种类型的霍尔效应。
为便于读者理解，这里只讨论诱导而生的霍尔电压 (或热霍尔梯度) 正比于Eext 的情况。这首先要求样品(材料) 必须同时具备 R 对称性和 I 对称性，用前述的集合表示法即为“具备 {R, I} 对称性”。为何这么说呢？从对称性角度来分析之并不难懂：
(1) 进行霍尔测量时，对样品施加纵向驱动电场Eext ，驱动纵向电流流过样品。此时，如果施加磁场H 或本身就具有磁性M，就会诱导而生霍尔电压，其正负极性假定为 (+, -)。(+, -) 极性与施加的Eext 是一一对应的，即 Eext 反向时，必然也会有 (+, -) 反向。
(2) 对某一具备 {R, I} 对称性的样品，进行 R 或 I 变换操作，Eext 和 ( +, -) 也同时改变方向或符号，满足霍尔效应的情况：Eext 反向，极性 (+, -) 也反向。
(3) 进行 R 或 I 变换操作，不会改变H / M 的方向，这正对应霍尔效应测量的情况。
注意到，实际霍尔实验中，当 Eext 改变符号时，霍尔电压改变符号，但其大小一般不变。要反映这一性质，意味着霍尔电压与Eext 的函数表达式应该包含一个正比于Eext 的项，且不能出现 (Eext)2 项，否则霍尔电压的大小就会变、甚至符号的变化也可能出现不确定性。不过，如果只考虑关于 {R, I} 的对称性破缺，也许能保证符号变化满足霍尔效应的条件，但无法约束 (Eext)2 项出现。也就是说，无论您如何设计一个霍尔效应实验的“构成量”，在对此“构成量”进行 R 或 I 变换操作时，都无法就霍尔电压与Eext 的关系进行“只有线性项”的对称性限制。由此，就可能带来非线性霍尔效应、出现如 (Eext)2 项。
怎么办呢？在样品具有 {R, I} 对称性的前提下 (这是线性霍尔效应的必要条件)，假定“构成量”满足 {R, M, T} 对称性破缺，那(Eext)2 项就无法出现，因为(Eext)2 不满足 {T} 对称破缺。事实上，图 5(c) 中所示的四种霍尔效应所形成的“构成量”都满足 {R, M, T} 对称性破缺的。
有趣的是，到这里我们才恍然大悟：所有满足 {R, M, T} 对称性破缺的“构成量”均具有“非零M 的SOS”。由此，可以提出一条非常重要、非平庸的定理 (定理一)：
任何样品，如果具有 {R, I} 对称性、且具有“非零M 的 SOS” (即 {R, M,T} 对称破缺)，均能展现出线性反常霍尔效应。
这一定理对于无净磁矩的体系如何实现正比于 Eext 的反常霍尔效应，具有一定指导意义。而且，我们不知道这种指导意义到底有多大，但这一定理的创新性却毫无疑问。
行文至此，读者和译者可能有类似感觉：一开始就在不断登山，因为内容越来越难、现象越来越复杂！不过，登高望远，会看到这个所谓的“Trompe L’oeil 铁磁”还有更多的风景。
图6. 法拉第效应与磁光 Kerr 效应 MOKE 示意图。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Equatorial_Kerr_effect.png
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/adom.201901381
8. 法拉第效应与 MOKE
这一节，讨论更难一些的现象，并将“以假乱真”上升到“雾里看花”，因为我们已经登上高处了。
高处看到了什么呢？雾里看花又是什么花？我们知道，“偏振”通常是对光的自旋角动量的一种描述，如图 6 所示。当圆偏振光以透射方式穿过某种材料时，根据其角动量方向的不同，圆偏振光将展现出不同的行为，通常称这一现象为圆二色性 (circular dichroism)。这一效应并不孤立，其它具有角动量的物质或粒子，如表征轨道角动量的“涡旋”光束，也能展现出类似现象 [17, 36-38]。
继续探讨之前，有必要梳理一下这种依赖于角动量符号的圆二色性——简单来说，根据透射光频率是否发生改变，圆二色性可以分为两类 [4-10]：
(1) 线性圆二色性：透射光频率不变。根据菲涅尔假设，线偏振光可以看作是由两个同频率、旋向相反的圆偏振光组成。当线偏振光在手性材料、(亚) 铁磁材料中透射传播时，将发生偏振方向的旋转，前者称为自然旋光，后者称为法拉第旋光。这些效应来源于材料对左右旋圆偏振光的不同折射率。
(2) 非线性圆二色性：涉及到非弹性 (耗散) 过程中相关的准平衡态。也就是说，材料对光具有吸收作用，使得透射光频率发生变化。比如，在磁性材料或处于磁场中的非磁性材料中所发生的磁圆二色性，即归属此类。X 射线磁圆二色性 (X-ray magnetic circular dichroism, XMCD) 是这种非线性效应的常见表现方法，可以观察到普通光吸收谱很难看到的电子跃迁。因此，XMCD 常用于深入研究磁性系统中的电子对称性等，以探索 (亚) 铁磁体中特定元素的磁性 (可参考文章《眼见为实I》和《眼见为实II》)。
这些圆二色性可以在很多材料中观察到。例如手性 Ni3TeO6 体系，具有共线反铁磁结构。当对其进行 THz 频率反铁磁共振实验时，会看到巨大的旋光效应。甚至在远高于反铁磁相变温度，手性 Ni3TeO6 在可见光范围内依然能够展现出显著的自然旋光性 [39, 40]。
事实证明，对手性材料、(亚) 铁磁材料甚至某些反铁磁材料，对其进行透射或吸收实验时，上述所有的线性或非线性旋光效应均要求 {M, M ⊕R, I ⊕T} 对称性破缺[17]。为了叙述方便，将从对称性角度“简称”以上这些效应为“法拉第效应”，不再一一区分。
光的偏振旋转还有另一个重要的磁光现象不能忘记，那就是磁光 Kerr 效应 (MOKE)。MOKE 指的是线性偏振光在诸如 (亚) 铁磁表面上发生“反射”时出现的另外一种偏振旋转现象。仔细分析之，可得出结论：要观察到 MOKE，“构成量”必须具备 {M, M ⊕R, T} 对称性破缺 [17]。
基于这两种磁光现象的分析理解，现在我们可以分析在哪些材料里能观察到它们。为了便于对比，不妨选择一些典型体系，将这些体系中是否有 MOKE 效应和法拉第效应简要总结于表 1 中。可以看到，反铁磁 Cr2O3，即便没有外电场 E，也具备破缺的 {M, M ⊕R, T}，因此应该有 MOKE 效应。然而，在零电场时，I ⊕T 对称性不会破缺，故不会展现出法拉第效应 [41]。没有磁性的手性结构材料，可以表现出法拉第效应 (实际上是自然旋光，我们在前文提到过“简称”一词)，但是由于时间反演 T 不破缺，故不能表现出 MOKE。(亚) 铁磁和某些反铁磁材料，也可以同时表现出 MOKE 和法拉第效应。
9. 化零为整
前面我们花费了几个小章节笔墨，由低到高，浓墨厚染了四类 Trompe L’oeil 铁磁效应。我们希望能够在这一小节，让读者可以借助于 SOS 原理，将上述几种铁磁现象的关联理清楚，而非图 7 之卡通所示那般一团乱麻。
我们已经知道，线性反常霍尔效应需要材料一定具有“非零 M 的 SOS”。那么，就位居最高处的 MOKE 效应和法拉第效应而言，它们与“非零 M 的 SOS”到底有什么深切关联？一旦理清楚这些关联，其它那些层次低一些的效应理解起来亦不太难。我们将之称为“化零为整”。
图7. 知识的卡通，在此寓意知识需要整理。
https://www.sohu.com/a/117671459_481765
依据上一节的论述，具有法拉第效应的“构成量”须满足 {M, M ⊕R, I ⊕T} 对称性破缺，而具有 MOKE 效应的“构成量”须满足 {M, M ⊕R, T} 对称性破缺。这两种效应需要满足的对称性破缺要求看似不同。不过，如果一个“构成量”具有“非零 M 的 SOS”，则有定理二：
所有具有“非零M 的 SOS”的材料，即具有与之类似对称性破缺元素的材料，必定能够同时展现出法拉第效应和 MOKE 效应。反之，任何能够同时展现出法拉第效应和 MOKE 效应的材料，必定具有“非零 M 的 SOS”。
如果从对称性破缺的角度来看，这一定理在数学形式上可表述如下：
在我们设想的任一“构成量”中，破缺的 {M, M ⊕R, I⊕T}+ {M, M ⊕R, T} 对称性与破缺的 {R, M, T} 对称性是等价的。
证明如下：
(1) 当对称性 {M, M ⊕R, T, I ⊕T} 全部破缺时，要证明 {R, M, T} 破缺，只需要证明 R 破缺。事实上，本文所讨论的那些导致“构成量”对称性破缺的元素，无一例外都是由于方向的改变(或者说增加了负号“-”)。因此，I = I ⊕T ⊕T = (-) ⊕(-) = (+)，即 I 不破缺。R = I ⊕M = (+) ⊕(-) = (-)，即 R 破缺。
(2) 反之，当 {R, M, T} 全部破缺时，只需要证明 {M ⊕R, I ⊕T} 破缺。同样地，I = R ⊕M = (-) ⊕(-) = (+)，则 I ⊕T = (+) ⊕(-) = (-)，故 I ⊕T 破缺。另外，由于 R = R-1 = R●⊕R = (-)，故 R●和 R 中必有一个是破缺的。
证至此处先来个急刹车：R●是个什么东西？前文似乎从来没有出现过？
细心的读者可能已经发现端倪——在一开始的“磨刀”阶段进行符号约定时，玩了一点“小把戏”：事实上，在三维空间里，“绕垂直于磁性 (M ) 矢量的轴旋转 p”这一语句描述，是对应着两条相互垂直的旋转轴所定义的！例如，当 M 为“→”方向时，R 为绕“↑”方向旋转 p，而 R●为绕垂直于纸面的方向旋转 p。只不过，在此之前 R 和 R●都能同时发生破缺，故没有特意提出。
我们继续 (2) 的证明：通过适当调整坐标系 (这意味着在实验中要选取特定的方向才能观察到某些现象)，可以使 R●破缺，则 M ⊕R = (I ⊕R) ⊕R = I ⊕(R ⊕R) = I ⊕R●-1 = R● = (-)，即 M ⊕R 破缺。
图 8 列举了一些反铁磁态，它们均没有净磁矩。我们借助于上面的分析，来预测一下其中是不是可能发生 MOKE 和 / 或法拉第效应。
图8. 不同反铁磁态中的 MOKE和法拉第效应，其中的符号约定可以参照图 4。另外，类似于前文图中变换操作以M 的方向作为基准方向，(a)、(e) 中变换操作的基准方向为纸面内的左右方向，而 (b)- (d)、(f)、(g) 中变换操作的基准方向为垂直于纸面的方向。
图 8(a) - (d) 中的反铁磁态均具备 {M, M ⊕R, T} 破缺，但是不具备 {M, M ⊕R, I ⊕T} 破缺 (注意：只要集合里有 1 个变换操作不破缺，我们就称该构成量不具备这个集合的破缺)。因此，它们均会展现出 MOKE，当然没有法拉第效应。
如果联系到实际材料，图 8(a) 正对应着零电场下的反铁磁体系 Cr2O3。图 8(b) 展示的是双层蜂窝晶格中的 A 型伊辛反铁磁有序，对应着 CrI3 或 CrBr3。图 8(c)、(d) 分别对应着翘曲蜂窝晶格 Mn4(Nb,Ta)2O9 和 MnPSe3 中的自旋组态 [22, 23, 28]。目前，除了在 Cr2O3 中已经观测到 MOKE，其它材料中的 MOKE 仍未在实验中观察到 [41]，需要未来实验工作者的努力。不过，努力的方向可不能是其中的法拉第效应，否则恐怕这辈子也“上不了岸”了。
图 8(e) - (g) 中的反铁磁态同时具备了{M, M ⊕R, T} 对称性破缺和 {M, M ⊕R, I ⊕T} 对称性破缺。因此，这些反铁磁态能够同时展现出 MOKE 效应和法拉第效应。图 8(e) 展示的是 kagome 晶格中的反铁磁态，如 Mn3Sn。图 8(f) 展示的是异质双层蜂窝晶格中的 A 型伊辛反铁磁有序，如交替堆垛的 CrI3 层和 CrBr3 层。图 8(g) 展示的是异质双层六角晶格中的 A 型伊辛反铁磁有序。的确，已经在 Mn3Sn 中观察到了 MOKE 效应，而其它材料中相关效应尚未得到实验证实 [42-45]。
另外，根据定理一和二，容易推知图 8(e) - (g) 中的所有材料应该也能展现出反常霍尔效应。
我们还可以“这山望去那山高”，继续前进，将这些分析拓展到具有圆偏振的近边 X 射线吸收光谱 (X-ray absorption near-edge spectra, XANES) 中，看看那里观察到的法拉第效应是不是也具有类似的行为。
当沿着 X 射线波矢方向施加平行 (H+) 或反平行 (H-) 的磁场时，对左旋 (σ+) 和右旋 (σ-) 圆偏振 X 射线，其 XANES 测量将得到三种类型的二色性，用如下公式(1) 表示：
公式 (1). XANES 测量得到的三种类型二色性。
其中µ (σ,H ) 表示相应偏振和磁场的吸收，XMCD 前文已出现过，XNCD 指 X 射线自然圆二色性 (X-ray Natural Circular Dichroism)，XMχD 指 X 射线磁手性圆二色性 (X-ray Magneto-chiral Circular Dichroism)。
从式 (1) 可以看出：XMCD 会随磁场方向反转而改变符号，XNCD 与磁场方向无关，XMχD 不需要偏振光，且只有在对两个方向的磁场吸收不同时才能表现出来。
为了更清晰地展示对称性要求，可将这三种二色性效应示于图 9 中。其中，M 表示磁性或具备“非零 M 的 SOS”，金色弹簧表示手性结构。可以看到，图 9(a) 所示的 XMCD 要求非零 M，图 9(b) 所示的 XNCD 要求手性结构，图 9(c) 所示的 XMχD 则要求非零 M 和手性结构。由此，如果对本文涉及的某些“构成量”进行这三种二色性实验，可以预测其结果：例如，所有具备“非零 M 的 SOS”的反铁磁系统都可观察到 XMCD 现象，如 Mn3(Sn,Ge,Ga) 和图 8(f) & 8(g) 所示之构型。处于磁场中的圆锥型或螺旋型自旋态一定会展示 XMχD 效应。
图9. 具有磁性和手性结构样本中的 X 射线圆二色性。 (a) XMCD；(b) XNCD；(c) XMχD。其中，(b) 中的第三个等价图以及 (c) 中的等价图源自镜像 (M) 变换操作。
图10. 如何画出一匹马？
https://www.sohu.com/a/282638821_747992
10. 再攀新高：具有 Trompe L’oeil 铁磁性的新型反铁磁
前文已经在部分体系中勾勒出了“非零 M 的 SOS”的线条，现在我们需要抱着“不怕最复杂，也不怕更复杂”的精神，手执“SOS”之笔，去画出一幅“非零M 的 SOS 之骏马”，恣意奔腾，如图 10 所示。如此，我们还可以恣意妄为许久。
再看看一些有趣的反铁磁态。
在图 11(a) 中，kagome 晶格中的自旋构型均具备“非零M 的 SOS”。根据定理一和二，它们均能展现出 MOKE 效应、法拉第效应及反常霍尔效应。事实上，Mn3Sn、Mn3Ge 和 Mn3Ga 均具有 kagome 晶格的自旋构型，而其中的确也观测到 MOKE 效应、反常霍尔效应、反常能斯特效应和反常热霍尔效应 [44 - 56]，其微观机制则源于特定反铁磁态中 Berry 曲率 (Berry curvature) 充当了“虚”磁场，导致这些效应的出现。我们相信，反常爱廷豪森效应也会在未来的实验中观测到。
图 11(b) 所示 kagome 晶格的反铁磁态，由于存在一个垂直纸面的三重旋转轴对称性，因此这一反铁磁态同时具备 {R, M, T} 对称性。然而，一旦施加应变 (图中绿色双箭头)，就破坏了这个三重旋转轴，它就有了“非零M 的 SOS”。类似地，图 11(c) 和 11(d) 所示、处于单轴均匀应变下的“全进全出”kagome 晶格和烧绿石晶格，都具备“非零M 的SOS”。类比到压电，我们称这种应变诱导M 的现象为压磁。
顺便说一句：图 11(e) 中给出了三角格子里的“两进 (出) 一出 (进)”自旋构型和正四面体晶格里的“三进(出) 一出 (进)”自旋构型，它们均具备“非零P 的 SOS”[57, 58]。感兴趣者可查看文献 [17]。
再次强调，kagome 晶格中三重旋转轴这一元素很容易被忽视。如果不施加图11(a-c) 所示的应变，整个“构成量”不可能具备“非零M 的 SOS”。有文献通过 Berry 曲率机制预测 Mn3Ir 和 Mn3(Rh, Ir, Pt) 在无应变条件下能观察到反常霍尔和 MOKE 效应 [44, 46, 59, 60]，这正对应于图 11(c) 所示的构型。然而，根据 SOS 的对称性分析证明，在三重旋转轴未被破坏的情况下，它们根本不具备“非零 M 的 SOS”，将无法观测到以上现象。
值得注意的是，少数反铁磁态即使在无外场、光照扰动下，依然倾向于展现出很小的净磁矩，量级通常在 0.001 µB / 磁性离子的级别。我们猜测，这种效应极有可能源于材料中轨道磁矩的贡献，或者说，轨道磁矩使得该反铁磁态具备了“非零M 的SOS”[45]。
图 11(f) 和 11(g) 描述了一种 AB 堆垛的三角晶格中二维平面反铁磁有序，它具备“非零M 的 SOS”[61, 62]。这种磁晶格在密排六方 hcp 系统中本应很常见，然而，似乎从未有过实验报道甚至理论预测其存在，不知道是何缘故。不过，如果这种反铁磁态是真实存在的，那么它一定能够展现出 MOKE 效应、法拉第效应以及反常霍尔效应，其结果将会是不亦乐乎！
好，不能再继续下去了。再继续，原作者和译者会被痛骂的！
图11. 具有“非零M 的 SOS”的多种反铁磁态，其中绿色双箭头代表施加的应变，绿色圆点代表空间反演中心，绿色虚线代表磁晶胞。需要特别说明的是，(g) 中的所有自旋实际上要绕图中的 y 轴旋转 90 度。
11. 总结
OK，有关“Trompe L'oeil Ferromagnetism”的详细探讨便到此结束。通过以上讨论，可以看到，应用 SOS 原理来讨论凝聚态物质中大量物理现象，包括非互易性、磁致多铁性、线性磁电效应、旋光性、光伏效应、二次谐波发生和反常霍尔效应等，简单直接，如信手拈来。
文中提及了大量的具有“非零M 的SOS”之“构成量”，其中有些具有可测量的磁性，包括外电场下的线性磁电体、注入电流的手性材料、移动的 Neel 或 Bloch 型铁电畴壁等。而另一些能够展现各种类型的 Trompe L’oeil 铁磁现象，如 MOKE 效应、法拉第效应以及反常霍尔效应。
在深入探讨各种效应之间的关联性时，提出了两条相关的重要定理。根据这两条定理，可以预测大量新奇的材料和物理现象。我们期待在不远的将来，这些现象能够为实验所证实，并热烈期盼理论学者能够为此提供微观机制上的支持。
译者得到原作者许可，在此不过是借花献佛，希望诸位看君能有所启发。
参考文献：
[1] Lowrie, W. Fundamentals of Geophysics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007).
[2] Du Trémolet de Lacheisserie, E., Gignoux, D. & Schlenker, M. Magnetism: Fundamentals (Springer, New York, 2005).
[3] Daniel, E. D., Mee, C. D. & Clark, M. H. Magnetic Recording: The First 100 Years (IEEE Press, New Jersey, 1999).
[4] Zvezdin, A. K. & Kotov, V. A. Modern Magnetooptics and Magnetooptical Materials (CRC Press, New York, 1997).
[5] Eremenko, V. V., Kharchenko, N. F., Litvinenko, Y. G. & Naumenko, V. M. Magneto-Optics and Spectroscopy of Antiferromagnets (Spinger-Verlag, New York, 1992).
[6] Stephens, P. J. Magnetic circular dichroism. Annu. Rev. Phys. Chem. 25, 201–232 (1974).
[7] Erskine, J. L. & Stern, E. A. Calculation of the M23 magneto-optical absorption spectrum of ferromagnetic nickel. Phys. Rev. B 12, 5016–5024 (1975).
[8] van der Laan, G. et al. Experimental proof of magnetic x-ray dichroism. Phys. Rev. B 34, 6529–6531 (1986).
[9] Schütz, G. et al. Absorption of circularly polarized x rays in iron. Phys. Rev. Lett. 58, 737–740 (1987).
[10] Chen, C. T., Sette, F., Ma, Y. & Modesti, S. Soft-x-ray magnetic circular dichroism at the edges of nickel. Phys. Rev. B 42, 7262–7265(R) (1990).
[11] Nagaosa, N., Sinova, J., Onoda, S., MacDonald, A. H. & Ong, N. P. Anomalous Hall effect. Rev. Mod. Phys. 82, 1539–1592 (2010).
[12] Katsufuji, T., Hwang, H. Y. & Cheong, S.-W. Anomalous magnetotransport properties of R2Mo2O7 near the magnetic phase boundary. Phys. Rev. Lett. 84, 1998–2001 (2000).
[13] Ramos, R. et al. Anomalous Nernst effect of Fe3O4 singlecrystal. Phys. Rev. B 90, 054422 (2014).
[14] Pu, Y., Chiba, D., Matsukura, F., Ohno, H. & Shi, J. Mott relation for anomalous Hall and Nernst effects in Ga1-xMnxAs ferromagnetic semiconductors. Phys. Rev. Lett. 101, 117208 (2008).
[15] Sakai, A. et al. Giant anomalous Nernst effect and quantum critical scaling in a ferromagnetic semimetal. Nat. Phys. 14, 1119–1124 (2018).
[16] Seki, T., Iguchi, R., Takanashi, K. & Uchida, K. Visualization of anomalous Ettingshausen effect in a ferromagnetic film: direct evidence of different symmetry from spin Peltier effect. Appl. Phys. Lett. 112, 152403 (2018).
[17] Cheong, S.-W. SOS: symmetry operational similarity. npj Quant. Mater. 4, 53 (2019).
[18] Grimmer, H. General connections for the form of property tensors in the 122 Shubnikov point groups. Acta Cryst. A 47, 226–232 (1991).
[19] Grimmer, H. General relations for transport properties in magnetically ordered crystals. Acta Cryst. A 49, 763–771 (1993).
[20] Popov, Y. F., Kadomtseva, A. M., Belov, D. V. & Vorob’ev, G. P. Magnetic-field-induced toroidal momentin the magnetoelectric Cr2O3. JETP Lett. 69, 330–335 (1999).
[21] Khanh, N. D. et al. Magnetoelectric coupling in the honeycomb antiferromagnet Co4Nb2O9. Phys. Rev. B 93, 075117 (2016).
[22] Wiedenmann, A. et al. Neutron diffraction study of the layered compounds MnPSe3 and FePSe3. Solid State Commun. 40, 1067–1072 (1981).
[23] Le Flem, G. et al. Magnetic interaction in the layer compounds MPX3, (M = Mn, Fe, Ni; X = S, Se). J. Phys. Chem. Solids 43, 455–461 (1982).
[24] Knafo, W. et al. Importance of In-plane anisotropy in the quasi-two-dimensional antiferromagnet BaNi2V2O8. Phys. Rev. Lett. 99, 137206 (2007).
[25] Bobev, S. et al. Unusual Mn-Mn spin coupling in the polar intermetallic compounds CaMn2Sb2 and SrMn2Sb2. Inorg. Chem. 45, 4047–4054 (2006).
[26] Krishnamurthy, V. V. et al. Magnetic ordering in CaMn2Sb2 studied via powder neutron diffraction. J. Magn. Magn. Mater. 321, 3653–3657 (2009).
[27] Karna, S. K. et al. Sodium layer chiral distribution and spin structure of Na2Ni2TeO6 with a Ni honeycomb lattice. Phys. Rev. B 95, 104408 (2017).
[28] Cao, Y. et al. High-quality single crystal growth and magnetic property of Mn4Ta2O9. J. Cryst. Growth 492, 35–38 (2018).
[29] Disseler, S. M. et al. Multiferroicity in doped hexagonal LuFeO3. Phys. Rev. B 92, 054435 (2015).
[30] Du, K. et al. Vortex ferroelectric domains, large-loop weak ferromagnetic domains, and their decoupling in hexagonal (Lu, Sc)FeO3. npj Quant. Mater. 3, 33 (2018).
[31] Furukawa, T., Shimokawa, Y., Kobayashi, K. & Itou, T. Observation of current-induced bulk magnetization in elemental tellurium. Nat. Commun. 8, 954 (2017).
[32] Vorobev, L. E. et al. Optical-activity in tellurium induced by a current. JETP Lett. 29, 441–445 (1979).
[33] Gohler, B. et al. Spin selectivity in electron transmission through self-assembled monolayers of double-stranded DNA. Science 331, 894–897 (2011).
[34] Lee, M. H. et al. Hidden antipolar order parameter and entangled Néel-type charged domain walls in hybrid improper ferroelectrics. Phys. Rev. Lett. 119, 157601 (2017).
[35] Cheong, S. W. Topological domains / domain walls and broken symmetries in multiferroics. Nat. Sci. Rev. 6, 624 (2019).
[36] Born, M. & Wolf, E. Principles of Optics: Electromagnetic Theory Of Propagation, Interference And Diffraction Of Light. 7th edn. (Cambridge University Press: Cambridge, 1999).
[37] Allen, L., Barnnet, S. M. & Padgett, M. J. Optical Angular Momentum (Institute of physics, Bristol, 2003).
[38] Torres, J. P. & Torner, L. Twisted Photons: Applications Of Light With Orbital Angular Momentum (Wiley-VCH, Bristol, 2011).
[39] Langenbach, M. Giant directional dichroism in chiral Ni3TeO6 in THz spectroscopy in high magnetic fields. Dissertation (Universität zu Köln, 2019).
[40] Wang, X. Y. et al. Interlocked chiral / polar domain walls and large optical rotation in Ni3TeO6. APL Mater. 3, 076105 (2015).
[41] Krichevtsov, B. B., Pavlov, V. V., Pisarev, R. V. & Gridnev, V. N. Spontaneous non-reciprocal reflection of light from antiferromagnetic Cr2O3. J. Phys. Condens. Matter 5, 8233–8244 (1993).
[42] Thiel, L. et al. Probing magnetism in 2D materials at the nanoscale with single-spin microscopy. Science 364, 973–976 (2019).
[43] Huang, B. et al. Layer-dependent ferromagnetism in a van der Waals crystal down to the monolayer limit. Nature 546, 270–273 (2017).
[44] Feng, W. et al. Large magneto-optical Kerr effect in noncollinear antiferromagnets Mn3X (X = Rh, Ir, Pt). Phys. Rev. B 92, 144426 (2015).
[45] Higo, T. et al. Large magneto-optical Kerr effect and imaging of magnetic octupole domains in an antiferromagnetic metal. Nat. Photon. 12, 73–78 (2018).
[46] Chen, H., Niu, Q. & MacDonald, A. M. Anomalous Hall effect arising from non-collinear antiferromagnetism. Phys. Rev. Lett. 112, 017205 (2014).
[47] Nakatsuji, S., Kiyohara, N. & Higo, T. Large anomalous Hall effect in a non-collinear antiferromagnet at room temperature. Nature 527, 212–215 (2015).
[48] Liu, J. & Balents, L. Anomalous Hall effect and topological defects in antiferromagnetic Weyl semimetals: Mn3Sn / Ge. Phys. Rev. Lett. 119, 087202 (2017).
[49] Ikhlas, M. et al. Large anomalous Nernst effect at room temperature in a chiral antiferromagnet. Nat. Phys. 13,1085–1090 (2017).
[50] Li, X. et al. Anomalous Nernst and Righi-Leduc effectsin Mn3Sn: berry curvature and entropy flow. Phys. Rev. Lett. 119, 056601 (2017).
[51] Sugii, K. et al. Anomalous thermal Hall effect in the topological antiferromagnetic state. Preprint at https://arxiv.org/abs/1902.06601 (2019).
[52] Park, P. et al. Magnetic excitations in non-collinear antiferromagnetic Weyl semimetal Mn3Sn. npj Quant. Mater. 3, 63 (2018).
[53] Suzuki, M. T., Koretsune, T., Ochi, M. & Arita, R. Cluster multipole theory for anomalous Hall effect in antiferromagnets. Phys. Rev. B 95, 094406 (2017).
[54] Liu, Z. H. et al. Transition from anomalous Hall effect to topological Hall effect in hexagonal non-collinear magnet Mn3Ga. Sci. Rep. 7, 515 (2017).
[55] Zhang, Y. et al. Strong anisotropic anomalous Hall effect and spin Hall effect in the chiral antiferromagnetic compounds Mn3X (X=Ge, Sn, Ga, Ir, Rh, and Pt). Phys. Rev. B 95, 075128 (2017).
[56] Wuttke, C. et al. Berry curvature unravelled by the anomalous Nernst effect in Mn3Ge. Phys. Rev. B 100, 085111 (2019).
[57] Khomskii, D. I. Electric dipoles on magnetic monopoles in spin ice. Nat. Commun. 3, 904 (2012).
[58] Dong, X. W. et al. Coexistence of magnetic and ferroelectric behaviors of pyrochlore Ho2Ti2O7. J. Appl. Phys. 106, 104101 (2009).
[59] Kren, E. et al. Magnetic structures and magnetic transformations in ordered Mn3(Rh,Pt) alloys. Phys. Lett. 20, 331–332 (1966).
[60] Tomenoa, I. et al. Magnetic neutron scattering study of ordered Mn3Ir. J. Appl. Phys. 86, 3853 (1999).
[61] Auerbaeh, D., Domany, E. & Gubernatis, J. E. Anisotropic Ising model on the hexagonal-close-packed lattice. Phys. Rev. B 37, 1719–1732 (1988).
[62] Hoang, D. T. & Diep, H. T. Hexagonal-close-packed lattice: phase transition and spin transport. Preprint at https://arxiv.org/abs/1112.5724 (2011).
备注：
(1) 笔者李翔博士，供职于湖北师范大学，主要研究领域是铁性物理和量子材料。
(2) 题头小诗乃感佩“对称破缺”物理极其了得。虽然拓扑似乎要抛弃对称破缺的框架，但鉴于霍尔效应本身在表征拓扑物理中的角色，加上本文下篇又着力展示SOS在电磁效应中的作用，似乎对称破缺的影子流传依旧。不知道SOS对诸如量子Hall效应等是不是也可以施加影响？
(3) 封面图片来自https://www.quora.com/What-is-an-intuitive-explanation-of-chiral-symmetry-breaking。
精选文章