张靖华——网格里的几何变换
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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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张靖华,中学数学教师，高级职称，中国数学学会会员，吉林市数学学会理事，中国数学学奥林匹克一级教练员.酷爱中等数学研究工作，曾在数学通讯、中学数学、数学学习与研究、数学教学研究、数学大世界等刊物上发表20余篇论文，代表作（处女作）《一对孪生命题的证明及推广》发表于苏州大学主办的《中学数学》1990年第3期.
网格里的几何变换
张靖华
北京市海淀区成志课堂数学教研组中关村北大街47号邮编100084.
小龙人最近学习了几何图形的有关知识，如点、直线、角、三角形等概念，学会了如何用刻度尺、三角板、量角器，等工具来度量角的大小，如何画一条已知线段所在直线的平行线和垂线，如何将一个图形进行平移、旋转和轴对称等方法，在动手操作中他感受到了几何图形的魅力，特别留心观察身边的几何问题．
有一天，他到人民广场玩，他发现工人师傅正在用正方形方砖和一条没有刻度的直尺镶地坪，地坪的主体是由正方形方砖拼接而成的，他联想到书本中的正方形网格，他从方砖的一个顶点走到其他方转的顶点，他想到连接两点可以形成一条线段，如果他继续走到另外的方砖的顶点的话，就可以构成另一条线段，这两条线段有公共的顶点，可以构成一个角. 那么工人师傅是如何用那把无刻度直尺，在没有量角器和三角板的情况下把地坪镶嵌的如此美观的呢？这些线段和角之间有何种有趣的关系吗？小龙人带着这个问题地认真研究起来，让我们与他一起分享他在网格里研究的成果吧．
一．约定
1.本文中的网格是单位正方形网格.
2.如无特殊说明和需要，已知的线段和射线的端点，角和多边形的顶点均在格点上.
3作图工具仅限于无刻度的直尺.
二．知识桥
1.定义:设 a,b,m 是正整数, a×b形指的是长为a宽为b的长方形,m a×mb形指的是长为ma宽为mb的长方形.
2.几个定理:由相似三角形性质立刻得出如下定理.
定理1:在网格中 a×b 形与 ma×mb 形的对角线所在的直线分别构成两对互相平行的直线.
定理2:在网格中 a×b 形与 mb×ma 形的对角线所在的直线分别构成两对互相垂直的直线.
定理3:在网格中 a×b 形与 ma×mb 形的对角线分割直角所得的角分别对应相等．
定理4:若一个角的两边分别平行或垂直另一个角的两边，则这两个角相等或互补.
3．两类基本图形的作图技巧
（一）:在网格里分别过C,D点作已知线段AB的平行线、垂线（由定理1、2即可作）
虚线部分即为所求此虚线是唯一的，称其为形独.形独媲美数独，极大激发读者的兴趣，探究图解规律。
参考文献清华大学出版社.杨青明主编《形独》一书
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