洪一平——作直角三角形内切圆数形结合解一道最值试题

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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“文章来源：邹生书数学”等字样。洪一平，83年毕业于浙江大学数学系，后在某学院任高数助教，89年获浙大数学系硕士学位。现任教于浙江省一级重点学校、国家级外语实验学校、浙江省现代教育技术实验学校——平阳中学，数学高级教师。《数学解题与写作交流群》大家公认的解题高手、数学名师和答疑解难热心人，群里朋友纷纷加他为微信好友以便进一步交流学习。洪一平老师是一位很受师生尊重和欢迎的好教师。

作直角三角形内切圆数形结合

解一道最值试题

浙江平阳中学    洪一平

10.在平面直角坐标系xOy中, 过点P(√2,10)作直线与两条直线l₁:y=x, l₂: y=-x交于A, B两点, 则|OA|+|OB|-|AB|的最大值为(    )

A.6√2     B.10      C.20√2-20    D.1+5√2

解: 如图, 依题意知△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,设内切圆圆心为C, 内切圆半径为r,设切点分别为D, E, F,则点C在y轴上, 知C(0,√2r).

由“三角形任一顶点到其内切圆的切线长,等于过这一顶点的两边之和与对边之差的一半”得

|OA|+|OB|-|AB|=2r, 又CD⊥AB,

由垂线段最短知r=|CD|≤|CP|,

由两点间的距离公式可得r²≤2+(10-√2r)²,

即r²-20√2r+102≥0, 而r<10,解得r≤3√2, 

当P是切点时等号成立,

故|OA|+|OB|-|AB|=2r的最大值为6√2.

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  雾

或从天外入林中，云海浮山上下空。

地处迷宫持本性，何须寻塔问西东。

你处在什么位置，站在什么高度，决定了你是怎么样的视野；内心多大的格局，你就可以看到多大的天空。 一根稻草，扔在街上就是垃圾，与白菜捆在一起就是白菜价，与大闸蟹绑在一起就是大闸蟹的价格。说明了：一个人在不同的平台和位置会体现出不同的价值！这就是“位”的重要性。

立  冬

收拾残秋始立冬，寒风扫尽小爬虫。

飘零落叶随风去，唯有青松在险峰。

      走过春的繁荣，见过冬的萧杀，便不再害怕季节的更替，而是更能以自然的心态欣赏不同季节里特有的风景；享受过成功，遭遇过挫折，便不再害怕人世的沉浮不定，而是更能以从容的心态对待不同经历所带来的悲喜；经历过繁华，品味过清冷，便不再畏惧剧终人散的寂寞，而是更能以坦然的心态面对缘聚缘散的结局。

晨起小诗三两行,千人万人共分享.

长年坚守如一日,老有所为福寿长.

（以上诗文由汪跃中老先生提供）