张国川：平行线间“百变蝴蝶型”面积问题的思考——从一道2020年福建省中考试题说起

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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平行线间“百变蝴蝶型”面积问题的思考

——从一道2020年福建省中考试题说起

张国川

福建省泉州第一中学（362000） 

最近笔者常在想小学学段六个年级可作为一个整体，学生在一所学校就能完成六年的学习.学生并不需要在一所学校读完1-3年级课程，转战另一所学校读完4-6年级.奇怪的是中学却不是这样，绝大多数学生的初中和高中都不是在同一所学校学习的.初、高中作为完整的中学学段，本质和小学学段并无差异，只不过是初中学习初级课程，高中学习高级课程.探索中学一体化融合发展专家也做了不少尝试，遗憾地是现实的中学教学还是初、高中割裂明显.

当然，必须面对的一个事实是初中属于义务教育阶段，高中却不是.学生读完初中课程是否升入高中继续学习并无强制性要求，这也是造成初、高中不能形成完整闭环的重要原因；其次，属于义务教育的初中阶段学生基数大，初中毕业只有一部分学生通过选拔性考试进入高中，这就导致初、高中人数自然形成“金字塔”型，必然导致含有高中部学校数（包括独立高中）少于含有初中部的学校数（包括独立初中），以致于初、高中不同学校学生自然形成流动,因此让中学生学习采用六年一贯制是有现实困难的.

然而就中学数学教学内容而言，还是可以对初、高中知识框架进行重新架构，部分完中校的一些班级可试行一体化教学.虽然在初中阶段“题海战术”的效果能立竿见影,但培养学生的数学逻辑素养依然是初中阶段的迫切任务.一个现象不知你关注了没有,为何总是有一部分中考数学考分相当好的学生到高中数学却掉队了,笔者觉得根本原因是初中数学逻辑思维能力没有培养好,中考考分高“题海战术”功不可没，并没有真正内化成个人的数学学习能力，到了高中难以适应大批量的逻辑推理，成绩分化导致掉队便不足为奇了.学生的流动性造成一体化教学的困难，现实的压力又迫切希望对初、高中知识重构进行通盘考虑，对教学内容和能力提升进行一体化培养.本文以一道福建省2020年中考数学压轴题谈谈如何突破初高中界限，根据教学内容和能力培养需要合理切换解题思路.

（福建省2020年中考数学第25题）

总结提炼

解法1思路：例题中的两个三角形无论如何运动,交点E到点C,B的距离之和恒定,基于此可只假设单变量,再用此量表示另外一个量.直线AE旋转中，动点E到点C,B的距离之比恰为两三角形的相似比，自然联想到线段的定比分点；

解法2思路：两个动态三角形底边可用单变量表示，求解面积必须先求出三角形的高，联想到利用方程组求出AE与CF的交点F的坐标；

解法3思路：本题是面积求解的问题，找到两边的夹角便可根据SAS求面积，观察图形发现可用两个三角形的一组对顶角作为夹角.设∠AEO=θ能方便求出AE的长度，且夹角为∠AEO的补角，此解法假设角θ并未直接求出其大小，这是设而不求的美妙之处；

解法1--解法3主要用坐标法解决面积问题，将几何问题代数化成功解决问题；解法4是利用共边定理和相似三角形的面积比等性质，采用纯几何方法解题，这是初中最为常见的直观解法；解法5是面积问题的行列式表示，由于解法1--解法3已经求出三角形的顶点坐标，故而用行列式表示面积就是水到渠成的事了，《大学先修课程》对行列式有比较详细的介绍，行列式也是高中选修模块的重要内容.

【结束语】笔者能真切感受到这些年的中考命题十分接地气，压轴题能非常契合当下的高中教学需求，有意识地解决初高中教学的脱节现象，试题的目的在于选拔优秀的人才继续深造.本题压轴题命题以函数为载体，以抛物线为背景，设置两平行线与动直线围成的“蝴蝶型”面积计算问题，充分考查学生分析问题和解决问题的能力.解决这类问题不经历一定的解题分析锻炼，纯粹靠“刷题”想拿高分比较难.

本题基于高中数学函数的背景，掘尽全力把高中数学问题初级化，如本题中涉及的高中直线平行的充要条件、平均值不等式、三角形的面积等内容，解题时学生可以根据所学内容等价化归，合理有效解决.当然，这些问题也可以直攻问题本质，采用高中知识快速解决，可见初高中一体化在现实教学中是十分必要的.笔者的研究思路是以中考题为载体，对试题不断深化，融合高中不同角度的思路解法，目的在于突破初高中原有的界限，实现初高中不同知识板块间的无缝衔接。

张国川，中共党员，一级教师，泉州一中高中数学教师.中国教育学会会员、新青年数学教师工作室成员、泉州市高中数学林少安名师工作室成员.2015年参加福建省中学教师“说题”比赛《一道几何题的拓展解析》荣获一等奖；2015年在第二届全国新青年数学发展论坛论文评比一等奖；泉州市2018年高中岗位练兵一等奖、被泉州市人社局授予“教学能手”称号；先后在《福建中学数学》、《数学教学》、《中学数学》等CN刊物上发表论文近20篇；多次承担省级培训研讨课教学，承担市级公开教学，参与多个省级、市级课题研究；指导学生参加全国中学生数学论文写作比赛荣获二等奖.

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