柴淑兰、王丽敏——应用导数解决一类隐零点恒成立问题

请点击上方蓝色字体“邹生书数学”，订阅本微信公众号；请点击右上角的“…”，发送给朋友或分享到朋友圈。

---

公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。    

开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。

邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

---

公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。

本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。

投稿邮箱：[e-mail]；

商务联系：13297228197。

应用导数解决一类隐零点恒成立问题

山西省朔州市朔城区一中       柴淑兰

西南大学在读大四学生      王丽敏   编辑

小结：变量分离后可避免讨论，但分离后研究的函数往往是分式函数，求导比较复杂一点。本题两种方法都无法逃避的问题是用极值点求最值，极值点存在不可求，这是必须利用“导数为零”这个重要特征，设而不求，替换指数式、对数式，使得极值，也是所求最值得解！一般人们把这种问题叫做“隐零点问题”，做法就是“设而不求”！

小结：该题与例1解法二一样，同样遇到隐零点问题，即使使用设而不求法处理，但最值结果中仍含有x₀,对待这个“虚拟”的值，如何求得实数a的最小正整数解，不是一件容易的事！这时，要充分利用题目中已知的“重要数据”：

分析：又一个隐零点问题，分析结果，对该零点的范围要求并不高（例2为达到求最小正整数解，对极值点范围要求极高！），只是需要对

  遇到隐零点问题，大胆进行设而不求去尝试，充分发挥其适合的方程，变形使用，在求最值过程中发挥其功能作用，必然会产生“车到山前必有路，柳暗花明又一村”的效果。

从中可以看出欲求k最大正整数解，只需要x₀存在于两个连续的偶数或者奇数之间即可，不需要非在两个连续整数之间，经估算

 当然此题用例1解法一，或者数形结合的方法都可以求解。

小结：注意到端点f(1）＝0，当f'(x)≥0时当然成立，否则出现1到某区间为减函数(用隐零点或者找其它点），得到矛盾，这样正反对比即可下结论！这类题的重要特征是端点值为0，所以人们称之为“端点效应”。

【解法二】变量分离法

小结：该题利用分离变量法，发现函数有单调性非常好，但遇到的困难是需要求出x→0时g(x)的极限值！需要用洛必达法则才能得得准确结果，否则估算容易出错。x趋于0时，函数结构为”0/0”型，用洛必达法则可以求出g(x)→1，得m≤1。

【解法三】数形结合法

小结：用数形结合法，不仅需要分析函数p(x)的单调性，而且还需要分析其凸凹性，也就是需要求二阶导数才能把其图像特征更为准确的刻画出来，也才能真正利用图像，再求(1,0)处的切线斜率，直接得出准确结论。

说明:对于这种“端点效应问题”，也有这样一种认识和求解方法：

注意到g(0)=0，所以，欲使g(x)≥0，必有g'(x)≥0，得a≤2，然后检验，当a≤2时，恒有g'(x)≥0，所以，g(x)在[0，)上单调递增，又g(0）=0，所以有结论。这种解题思路是，抓住零点效应求恒成立的必要条件，然后检验它的充分性。显然检验起来非常简单，相比之下，前面解法在否定a＞2时既麻烦又有难度。

总结：可移项变形为F(x)≥0或F(x)≤0的，恒成立问题，处理策略一般有三种。第一种：必要时讨论F(x)的最小值或最大值，然后加以限制求字母取值范围；第二种方法：分离变量法，转化为研究不含变量的函数值域问题，然后确定字母取值范围；第三种方法：数形结合法，即将原问题转化为两个图像的高低问题。对于能成立问题、函数零点个数问题，方程解的个数问题，一般也是这三种方法。

解法一：多数情况需要讨论，特别是端点处最值为0的情形。

解法二：求字母的最大值最小值。需要对极值点设而不求，替代完成指数或者对数式，为了整数最大或者最小值，有时需要框定极值点的范围，注意用分析法，结合题目条件或结论进行针对性确定。。

解法三：不仅需求导分析函数单调性，，还需要结合凹凸性、端点等多个方面才能求解。

  此题最小值的确定不难，就在两个端点处，不需要追究那个更小，欲使函数值恒大于等于零，同时限制端点值即可！然而题目的难点发生在后面解实数a的不等式组上！两个零点一个可读出，另一个存在但不可求，仍然需要设出来，但在求交集使恰好规避了！又是一个隐零点的设而不求，但它不是在变形替代中发挥作用，而是起一个临时支撑的作用。

所以，这种求字母取值范围的题目，如果是恒成立问题，不妨就某个取值找出其必要条件，缩小研究范围，也行此举使得负责问题简单化，避免讨论；还有，在“”此路不通”的恶劣条件下，不妨换种思路去寻找突破口，“另辟蹊径”，别有一番风景在眼前。

柴淑兰，山西省朔州市朔城区一中数学教师，副高级职称，省学科带头人，区教学能手，学科名师、优秀班主任、师德标兵，从教29年，坚持工作在教学第一线，主持年级教学工作，兼任班主任，工作踏实，教学风格严谨细致，注重基础，追本溯源，管理班级粗中有细游刃有余，深得学生敬重和家长好评。

作者往期文章链接：

长按或扫描二维码关注本公众号！

投稿邮箱：[e-mail]；

商务联系：13297228197。