群雄逐鹿显本色 问鼎高考待此时——从一道几何计算题说开去

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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群雄逐鹿显本色   问鼎高考待此时

——从一道几何计算题说开去

湖南益阳市牌口学校      罗小明

众所周知，当一道试题的条件越简单而需要我们去解决某个问题时，你可能会觉得越发无从下手，你会发现在解题过程中往往遇到的困难会比你所预想的要多得多，相应的它所花的时间与精力会更多，但只要我们平常多积累一些解题的实战经验，当遇到与此类似的问题时，便会思如泉涌、茅塞顿开，从而迅速找到破解问题的最佳方案.下面通过一道条件非常简单的几何计算题的多种解决方法来领略一下如何打通解题思路，并从不同的角度和方式来解决数学问题所带给我们的智慧与快乐.

题目：如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD=BE=1,CE平分∠BCD,求CE的长度.

一、初中解法

1.解析法（益阳市六中，曹亮提供）

【分析】利用直角三角形的特殊性，立刻联想到解析法.以直角顶点C为坐标原点建立平面直角坐标系.通过设辅助未知数DE=m,∠B=θ，于是图中相关点B、D、E的坐标均可用它们表示出来，然后应用两点之间的距离公式表示DC、BC，由角平分线性质建立关于m和θ的方程，再使用换元法求得线段CE的长.

解：如图1,以点C为原点，以BC所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.过点D作DF⊥x轴于点F，作DG⊥y轴于点G，过点E作DM⊥x轴于点M，作EN⊥y轴于点N.

【点评】此解法主要特点是设了两个恰当的辅助元m和θ，抓住图中最重要特性“CE是∠BCD的平分线”，利用角平分线性质定理来建立方程.解题途中两次换元“令m=1+t”及“令t²-1=u”使得运算式子越来越简单漂亮，减少了计算量.此法思路简单明了，计算难度不大，凸显了数学的简洁美.真可谓奇思妙想，非常难能可贵.

2.旋转+仿射变换法（桃江县一中，胡芳举提供）

【分析】先利用几何法中常用的“旋转变换”将△BCE逆时针旋转90°，并作相似变换，得到△BCE∽△ACF，从而发现图中会出现多个直角三角形，如Rt△AFD，Rt△CFE，Rt△CFN等，还有平行关系FN∥CB，逐步推出CD=DN=DF.由C、E、A、F四点共圆，可得Rt△AFD∽Rt△CFE，建立比例方程，然后应用射影定理将等式进一步简化而获解.

解：如图2,将△CBE绕点C逆时针旋转90°,并作相似变换,使得△CAF∽△CBE，且∠ACF=∠BCE,∠CAF=∠B.连接DF交AC于点G,交CE的延长线于点N.由△CAF∽△CBE,可得：

 【点评】此解法打破了几何法中常用“旋转变换”来得到全等形，本题采取“旋转+仿射”变换来求解，其解法“构思新、方法巧”，解题过程中推理清晰，看不到繁杂运算，让人眼前一亮，脑洞大开，顿觉如仙人指路，法力无边；亦如蜻蜓点水，亦似闲庭信步，不禁让人心悦诚服、拍案叫绝.  

二、高中解法

3.坐标法（桃江县一中  胡芳举提供）                       

【分析】先以点E为坐标原点，以斜边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，引入参数DE=a，表示出点D,A的坐标，再设点C的坐标为（x，y）.抓住BC与 AC的垂直关系以及角平分线性质列出关于a,x,y的不定方程组，然后消去参数a，得到整体变量x²+y²的值，进而求得线段CE的值.

解：如图3,以点E为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.

【点评】此解法主要应用两线垂直的斜率关系及角平分线性质来建立不定方程组，利用整体思想来解决问题.建系时打破了以直角顶点为坐标原点的常规，方法简单，运算量小，数形结合思想应用得非常好.

4.三角法(益阳市一中  刘晖提供)

【点评】此解法引入的参数较多，需要有较强的列式能力与消参经验.解决这样含角度与线段长度参数混搭的问题，我们往往需要用到正、余弦定理及三角函数公式.当然此法抓住有角平分线的特殊性，既用到了它的性质定理列式，还用到了张角定理来共同解决问题.个认为此法适合于竞赛培优或三角函数专题复习，对学生的运算能力、观察能力等核心素养的培养不无裨益.

一年一度的高考离我们越来越近，我们无需过多焦虑与紧张.只要我们把平常老师教的方法在临考前反复过目，时而练练，您就会对于所学烂熟于心，从而一定会在考场上思路开阔、淡定从容且快速而准确作答.

我期待：群雄逐鹿显本色，问鼎高考待此时！

祝大家高考大捷！！！

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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