罗小明、刘 晖——应用导数工具解决函数最值与极值点问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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应用导数工具

解决函数最值与极值点问题

湖南益阳市牌口学校     罗小明

湖南益阳市第一中学     刘  晖

（2021年5月雅礼中学联考22题）

思路：第（1）小题的解题思路为：先对函数f（x）求导，发现导函数f＇（x）在给定区间[3π/2,2π]上单调递增，计算出端点导函数值异号，由此可以推断在区间[3π/2,2π] 内存在x₀，使得f＇（x₀）=0，且x₀为极小值点，也是函数f（x）在此区间的最小值点.通过端点函数值的计算与比较，可求得函数f（x）在给定区间的最大值.第（2）小题的解题思路为：需要多次求导来解决问题.①先对函数g（x）求导得g＇（x）=h（x）;②再对h（x）求导得到h＇（x）=φ（x）；③接着对φ（x）求导得到φ＇（x），可得φ＇（x）在（π，2π）上单调递增，因为φ＇（x）在（π，2π）的端点值异号，推出φ（x）在区间[π，2π]存在极小值且为最小值φ（x₀）；④推导出h（x）=g＇（x）的单调区间，并画出示意图，从而可以在（0,2π）找到两个极值点x₁和x₂；⑤由“余弦函数的单调性”或用“和差化积公式”转化为正弦函数推出x₁+x₂＞2π.

点评：解决本题的两个问题的共同点是均用到了导数法来判断函数的单调性，得出其单调区间.第（1）小题主要是函数在给定区间内的最值与端点函数值进行比较大小来得出已知函数的最大值.第（2）小题的综合性比较强，属于“已知函数极值点存在性判定问题”，通过求导得出导函数的零点，应用“数形结合思想”进一步推导出已知函数存在两个极值点，比较x₁+x₂与2π的大小关系时，应用函数的单调性及转化思想来解决问题.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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