李克正：中小学生怎样才算数学学得好？

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中小学生，怎样才算数学学得好呢？中科院研究生院数学系原主任、首都师范大学特聘教授李克正举了很多例子，把数学学习的特点讲的很透彻。

学习数学要拥抱自然

首先问大家一个问题：数学是自然界的客观规律，还是人大脑中的纯粹主观的东西？不要求大家马上回答，因为这个问题即使在科学家群体中也一直有着激烈的争论，是个根本性的哲学问题。

彻底的唯物主义者认为，数学根本上来自自然界，因此学习数学要拥抱自然，特别是要避免脱离自然。

一些数学家采用“数觉”这个术语，即对于数学对象的物理直观。

然而一种非常普遍的观点认为数学是“理论科学”，只是动动脑子的事，“数学对很多人来说是枯燥的、深奥的、抽象的”，甚至是乏味的、无用的、无聊的。

更有些极端的看法，否认数学是科学，否认数学所研究的是自然规律，认为自然数纯粹是人大脑里的东西，或者是“存在于天上的纯粹理性”，或者纯粹是文字和符号的游戏等等。

抱着这样的态度学习数学，难免脱离实际，甚至完全没有“数觉”。

学习数学不是只要认识数字，会写会算就行。

首先要理解自然数的“自然”意义，没有“数觉”却只管练习记数、计算等，是学不懂数学的。

小学生做很多数学应用题，中学生却很少做甚至不做，其实中学生更应该做，这是回归自然的一个重要途径。

什么样的习题是“自然”的呢？这不太容易说清楚，但“自然”的反义词是“人工”，那些在自然界中不存在的现象，人为编造的条件，牵强附会的假设，与数学无关的语言障碍或陷阱等都属于这一类。

例如，小学教科书上有个题目：在一个仓库里有很多葡萄，经过一段时间由于水分蒸发重量变轻了。重量少了多少呢？答案是50% 。这样不“自然”的习题很常见。

华罗庚先生当年做数学普及报告，经常举日常生活中应用数学的生动例子，比如：蜂巢为什么最省材料？什么样的茶叶桶盖掉不下去？街口的红绿灯应该怎样设计？苏联导弹试验场的奇怪形状说明了什么？

这些报告都给了听众们非常深刻的印象，一个重要的原因就是其中有很多自然的例子。

中学生在数学应用方面应该比小学生有更高的要求，不仅要会做应用题，还要能将实际工作中的问题转化为数学问题并予以解决，就是说要培养数学建模的能力。

陈省身先生说过：“数学是一切科学的基础，数学的训练普遍的有用”。但对数学有严重偏见的人（包括缺乏数觉的人）来说，是不可能理解这两句话的。

学习数学的最强动力是兴趣

数学揭示自然界的规律，而人本来就属于自然界，了解自然界的欲望是人类的本能，因此对数学的兴趣是可以自然地形成的。

但是，如果学的或做的是不自然的数学，则无助于培养数学兴趣，甚至会伤害数学兴趣。

学习数学的最强动力是兴趣，比其他动力如功利、荣誉甚至强迫等都要大。

遗憾的是，我遇到过一些同学本来很喜欢数学，后来却由于不当的数学教育变得不喜欢甚至恨数学。

陈省身先生给小学生的一个题字是“数学好玩”。不知有多少同学觉得数学好玩。

学好数学，必须要做实验

作为科学，数学产生于实验，在这一点上与物理、化学等都是一致的。

离开自然界，数学根本不可能存在也不可能产生。

最早的数学研究对象——自然数的客观存在，是一个物理事实，人类只是“发现”而不是“发明”了自然数。

小孩子扳着手指数数，就是一个数学实验（当然是很简陋的）。小时候玩的一些玩具中也有简单的数学实验。

作为计算工具已经淘汰的算盘，也是一种数学实验设备，它的数学教育功能尚未完全过时。在初中数学教育中，原来也有必备的通用实验工具——圆规和直尺。

一个班的学生中一般总有几个学得不好的，很多人将此简单地归因于这些学生“笨”或者“懒”，还有归因于“智商”的（而且有些人将智商说成是先天因素）。

另一方面，经常也总有几个学生学得很好，这也使一些人认为他们“聪明”“勤奋”或“智商高”，由此往往会得出一个错误的判断，就是在数学教学中不需要实验，没有实验他们不是也学得很好吗？

其实不然。少数学生不需要某个实验，可能是因为他们以前做过有同样效果的实验，但其他学生仍是需要的。

高质量的数学竞赛值得参加

数学竞赛是一种非常好的教育方法，它能激励学生的数学兴趣，发现人才，提高学生的素质，开阔学生的眼界。

此外，它能建立数学界与青少年沟通的桥梁，吸引数学家对青少年人才培养的投入，吸引学术界和社会对于数学发展的关注等。

数学竞赛是一种学术性很强的竞赛，需要依靠数学家来组办，尤其是命题。

我参加过多种中、小学数学竞赛的命题，深知这是难度很高而且非常辛苦的工作。

简言之，数学竞赛题的内容：

既要基于学生的课程内容，又不能落入俗套；既要有难度，又要简单；既考验智慧，又启发新的智慧；既不能超出学生知识基础的范围，又要有深刻的观点。

数学知识多，不如数学理念强

在现代社会中，一个人一生中接受数学教育的时间是相当长的。

实际上，幼儿一般在很小的时候就开始接受数学教育。

虽然一个人需要学的数学知识很多而且越来越难，但即使是一个小学生也可能有很好的数学素质，而中学生中有很多可以达到相当高的数学素质。

一个人的数学素质高低的标志不是数学知识的多少，而是数学理念的理解。

小学阶段培养数学素质的一个要点是可靠性。在做数学题的过程中，要求越来越严格，这是培养科学严谨性的第一步。

如果一个小学生在解题过程中的错误都能够自己发现和改正，就是解题非常可靠，在这一点上数学素质完全达标了。

中学阶段对于数学素质有更多的要求，包括代数运算能力、空间想象力、逻辑性等，对独立探索解决问题的能力提出了更高的要求。

数学素质的提升主要是通过理念的提升来实现的。理念的提升，远比技巧的提高重要。在理念的提升过程中，概念越来越抽象。抽象概念常常是具体概念的推广或提升。

在教学中一个常见的误区是，先讲抽象概念，再应用到具体情况，这样符合逻辑次序，但对于学习可能并不合适。

因为人的认识过程是从特殊到一般、从低到高、从具体到抽象，也就是说抽象的概念需要通过大量具体的例子才能理解。

最后再指出一点：数学的教育特别需要“因材施教”，对于同一个问题，不同的人很可能需要大不相同的学习过程。

例如很多数学习题是没有“标准答案”的，特别是证明题，在好的情况下甚至可能没有两个学生的答案完全相同，需要教师分别读懂和判断。

就这一方面看，数学教育是很不容易也很辛苦的。

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