李文革——“数学试题”命制技术（附两本命题书供参考）
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一
通过还原解题的思路和方法命题
1.解题和命题的关系
解决数学问题的基本思路是把没有解决的问题转化为已经解决的问题，复杂的问题转化为简单的问题。
而命数学题则刚好相反，往往是从已知问题出发，通过增加思维量，不断变式，得到新问题。
图1说明了解题和命题的思路是互逆的。
图1
2.通过改变试题的构成要素命题
一道数学题一般包括三个要素：已知量、未知量、已知量和未知量之间的关系。解数学题就是根据已知量和未知量之间的关系，由已知量求出未知量。
解题时，需要把已知量和未知量之间的关系逐一分解，使之变成一个个清晰的几何关系或代数关系。而未知量的值就是这些几何关系或代数关系的公共部分，即一些几何图形的公共部分或一些等量关系（不等关系）组成的方程组（不等式组）的解。
（1）改变已知量命制试题
例1
作已知等腰三角形的内切圆。
已知量：等腰△ABC，即三个点A、B、C。（如图2）
未知量：作内切圆，可以归结为求圆心，即一个点，不妨记为O。
已知量和未知量之间的关系：O到AB的距离＝O到AC的距离＝O到BC的距离。
我们可以把已知量和未知量之间的关系分成两部分：
（1） O到AB的距离＝O到AC的距离；
（2） O到AC的距离＝O到BC的距离。
图2
每一部分条件都对应一条轨迹：第一部分对应的轨迹是∠BAC的平分线（或BC边的垂直平分线）；第二部分对应的轨迹是线段∠ACB的平分线。所求的点O就是这两条轨迹的交点。
命制试题： 三角区域由直线AB和两个圆弧
围成，其中一个圆的圆心是A，另一个圆的圆心是B，而且两圆彼此通过对方的圆心。作此三角区域的内切圆。
如图3，假设所求的内切圆已作出。显然，我们可以把未知量归结为求一个点，即所求圆的圆心。而且我们易知这个点满足的一条轨迹是线段AB的垂直平分线。
图3
为了确定这个点，还必须找出它满足的另一条轨迹。所求的圆除了与线段AB相切外，
如图4，以A为原点、AB所在的直线为x轴建立直角坐标系。设AB＝a，所求圆的圆心的坐标为（x,y），则可得：
方程可化为
它是一条抛物线，无法通过尺规作图作出。由于线段AB的垂直平分线的方程为
所以我们可以通过解方程组
求出圆心坐标x、y。从而作出所求的圆。
图4
（2）改变未知量命制试题
例2
如图5，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，求DE长的最小值。
图5
命制试题1：如图5，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，求△DCE周长的最小值。
命制试题2：如图5，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，求四边形ADEB周长的最小值。
以上2道变式题的求解都可以转化为原题。
（3）改变已知量和未知量之间的关系命制试题
例3
已知三角形的一边a，垂直于a的高h，
未知量：一个三角形。
具体化已知量和未知量及其关系：
未知量：点A。
已知量和未知量之间的关系：从点A到BC的垂直距离为h，且
已知量和未知量之间的关系可以分解成如下两部分：
（1）点A与线段BC的距离为h；
它的两边通过给定的点B、C。
满足条件（1）的轨迹是平行于BC且与BC的距离为h的一条直线；满足条件（2）的轨迹是以BC为弦且BC所对的圆周角为
命制试题：
从这个给定角的顶点向对边所作的高h及该三角形的周长p。求作这个三角形。
如图6，转化为原题，先作出△ADE，
图6
3.根据常见的解题方法命题
例4
求使等式成立的x值：｜x－5｜＝｜x－8｜。
由绝对值联想到数轴，可用数形结合的方法解答本题。
实数和数轴上的点一一对应，如图7，在数轴上表示出坐标为5、8、x的三点A、B、X。
图7
根据绝对值的意义可知AX＝BX，所以X是线段AB的中点。因此
用数形结合的方法命制试题：若a、b、c、d都大于0，求证：
由所求证结论可联想到勾股定理和“三角形的两边之和大于第三边”。
例5
证明勾股定理。
如图8，要证
就是要证明分别以AB、AC为边长的两个正方形的之和等于以BC为边长的正方形的面积。所以可考虑用面积法证明。
图8
可以考虑作辅助线，构造基本图形，把这三个正方形的面积联系起来。如图9所示，连结CF，得到
把△BCF顺时针旋转90°得到△BDA。过点A作BD的平行线，分别交BC、DE于M、L，则可得
所以，
同理可得
从而可得
这就是欧几里德在《几何原本》中给出的证明方法。
图9
用面积法命制试题：如图10所示，ABCD是一个正方形，边长为4，DEFG是一个矩形，点A在EF上，点G在BC上，其中DG=5，求DE的长度。
图10
二
利用变式命题
1.改变代数形式
例6
已知a、b为正数，求证：
变式1：将原题中的无理形式变成有理形式，命制如下试题：
变式2：将原题中的无理形式变成三角形式，命制如下试题：
例7
变式1：
变式2：将分子改为二次多项式，命制如下试题：
变式3：将分子、分母都改为二次多项式的分式函数，命制如下试题：
2.改变几何图形
例8
如图11，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，那么DE长的最小值是（ ）。
图11
命制试题：如图12，可将在AB的同侧作等腰直角三角形，变为作等边三角形、等腰三角形、正方形等。
图12
例9
如图13，在直线l上求作一点C，使AC＋BC最短。
图13
变式1：如图14，在直线I上求作一点C，使AC＋BC最短。
图14
变式2：如图15，正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE = 3，BE = 1，在AC上有一动点P，求EP + BP的最短长度。
图15
例10
如图16，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。
图16
变式1：可通过平移将图形变成如图17所示的形式。
图17
变式2：可通过翻折将图形变成如图18所示的形式。
图18
变式3：可通过旋转将图形变成如图19所示的形式。
图19
变式4：可通过平移和翻折将图形变成如图20所示的形式。
图20
3.进行推广
例11
已知b＜a＜c，求y＝｜x－a｜＋｜x－b｜＋｜x－c｜的最小值。
推广1：已知a＜b＜c＜d，求y＝｜x－a｜＋｜x－b｜＋｜x－c｜＋｜x－d｜的最小值。
推广2：求｜x－1｜＋｜x－2｜＋｜x－3｜＋…＋｜x－2020｜的最小值。
例12
如图21，已知四边形ABCD，如何作出一个以AB为一边且与四边形ABCD的面积相等的三角形？
图21
推广：如图22，已知多边形ABCDE…，求作出一个与多边形ABCDE…的面积相等的三角形。
图22
4.多视角变式
例13
如图23，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的。你能说出理由吗？
【华东师大版初中数学教材八年级下册75页练习第2题】
图23
变式思路一：底不同高相等
变式1：如图24，点D是△ABC的边BC上的任意点，则
S△ABD：S△ABC＝BD：BC，
S△ABD：S△ADC＝BD：DC。
图24
变式思路二：底相同高不等（两种情况）
情况一：
变式2：如图25，△ABC和△DBC有公共边BC，连结AD交BC于E，证明
S△ABC：S△DBC=AE：DE。
图25
情况二：
变式3：如图26，在△ABC中，DE∥BC，点P为DE上任一点。求证：
S△PBC：S△ABC=BD：AB。
图26
变式思路三：底不同高不等
变式4：如图27，D、E分别在△ABC的边AB、BC上，证明
图27
变式思路四：逆向思考
变式5：（逆向思考）如图28，已知S△ABC＝S△BCD，AD∥BC吗？
图28
三
采用灵活多变的呈现形式命题
例14
考查“点到直线的距离”。
（1）如图29，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是 （ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【2010年浙江省台州市中考试题】
图29
（2）如图30，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A、D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）。
【2016年山东省淄博市中考试题】
图30
（3）如图31，四边形ABCD中，∠BAD=∠DCA=90°，
点P是四边形ABCD四条边上的一个动点，
则满足条件的点P有（ ）个。
【2016年四川省凉山州中考试题】
图31
（4）如图32，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，那么DE长的最小值是（ ）
图32
过点E作BC的垂线，垂足为F，则DE长的最小值就是点D到EF的距离。
（5）已知两艘船的速度和它们在某一时刻的位置，两船都沿直线匀速行驶，求两船相距最近时的距离。
如图33，点A、B分别表示两船已知的初始位置，有向线段（向量）AP、BQ分别表示两船的运动方向及速度大小。
图33
由于A、B、P、Q任意性，可考虑用特殊化方法解决此问题。假设一条船的速度为0，即处在静止状态，这时它与运动的船之间的最短距离就是它到后者所运动的直线的垂线段的长。
如图34，我们对两艘船同时施加一个相同的速度，其方向与BQ相反，大小与BQ相同。这时相对于A来说，B就是静止的。这时的最短距离就是BS。
图34
四
采用丰富多彩的问题情境命题
例15
计算l-3.6l。
命制试题：如图35，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）。
图35
例16
填空：两点之间（ ）最短。
命制试题：如图36，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）。
【2016年湖北省宜昌市中考试题】
图36
例17
如图37是华东师大版初中数学七年级上册第128页“试一试”：
图37
命制试题：设计一个“三用塞子”，使它恰好能塞进三个不同的孔：一个是圆的；一个是方的；一个是等腰三角形的。其中，圆的直径、正方形的边长、等腰三角形的底及其高都彼此相等（如图38）。
图38
例18
如图39，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm。把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB 、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
图39
命制试题1：如图40，一阁楼有一扇透光面积为0.48m2的三角形小窗户（△ABC）。为了安装防护钢架，一位焊工已截取了2.00m长的条形钢材制作成“倒T型”架作为支架（AD段与BC段焊接，且AD⊥BC），现欲再截取3段一样长的钢材来与“倒T型”架底边焊成一个正方形钢架EGHF（其中点E、F分别在AB、AC上，G、H在BC上），问这位焊工截取的每段钢材应是多长？
图40
命制试题2：某居民小区准备在一块等腰三角形的草坪上修建一座正方形游泳池，该三角形草坪的测绘尺寸如图41所示，请你为施工队设计游泳池位置规划方案，使得正方形游泳池面积最大，并加以证明。
图41
例19
黄金分割比为（ ）
命制试题：一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看。如图42，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？(精确到1cm)
参考数据：黄金分割比为
【2010年广东省佛山市中考试题】
图42
例20
已知a＜b＜c＜d＜e，求y＝｜x－a｜＋｜x－b｜＋｜x－c｜＋｜x－d｜＋｜x－e｜的最小值。
命制试题：工作流水线上顺次排列5个工作台，一只工具箱应该放在何处才能使工作台上操作机器的工人取工具所走的路程最短？
这是一个实际问题，首先把它数学化：把流水线看成数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，问题就转化为例20的情形。
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