李文革：数学教学到底教什么？

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一、这是教数学吗

镜头一：公式教学

镜头二：例题教学

教师讲解例题时往往习惯于直接给出正确解答过程，而把自己的思维过程（特别是未得到正确解答的思路）隐藏起来。这样，一方面未调动学生的思维，教给学生思维方法；另一方面让学生感到老师是要他记住正确的解答过程。

点评：教师对例题的讲解，重在思路分析，而不仅给出正确的解答过程，教师要把自己的思维过程（特别是“走弯路”的思维过程）展现给学生。

目前数学教育中存在的问题：

（1）由于课堂教学对于数学本来面目的歪曲——把数学变成了按部就班的程序化的东西，使数学学习变成了对机械程序的记忆、模仿和操练，致使相当一部分学生不喜欢数学，甚至害怕数学。这种课堂教学所训练出的学生往往会认为，数学学习不需要思考，只需要把老师的板书完整地抄下来并记牢就可以把数学学好。解答每一个数学问题都会有相应的切入点和知识点，而学生必须做的就是接受并记住这些套路，并且在掌握这些套路的前提下来解题，否则就会得到错误答案。

（2）在数学学习过程中最为奇怪的现象是，学生不知道问题是怎样产生的，但却知道如何去解答，即所谓的知其然而不知其所以然。

（3）不惜让学生耗费几年的时间，来反复练习同一种解题模式，直至他们对此形成条件反射为止。

其实学生在上学之前已经能够自主地去摸索并应对一些日常生活问题了，而许多研究表明，他们上学后便逐渐失去了这种调动主观能动性去解决实际问题的能力。每位数学老师手中都握有改变学生命运的重要机会。如果老师在日常教学中将时间仅仅用在指导学生如何教条地完成练习题上面，那么也就意味着他扼杀了学生对于数学的学习兴趣，阻碍了学生的智力发展，白白浪费了手中握有的改变学生命运的机会。

二、这才是教数学

从上世纪60年代以来，数学教学目标经历了如下演变：

提倡“核心素养”，要求我们为发展学生的核心素养而教：以发展学生核心素养为目标指向，以数学知识为载体，以数学概念的内在逻辑为线索，精心选择学习素材，构建学习情境，设计符合学生认知规律的、自然而目标明确的系列数学活动，引导学生通过多样化的学习方式，掌握数学双基，形成思维能力，并在运用数学知识解决问题的过程中培养创新精神和实践能力，从而实现核心素养的发展目标。

数学教育的终极目标是：使学生会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。那么，数学教学到底教什么呢？根据数学核心素养的要素，可以很自然地得出：数学教学应该教理解、教思维、教思想方法。（如下图所示）

1

教理解

教师在教学时通常出现下列错误倾向：快速教学相关概念、原理等新知内容后就进行大量机械重复训练或题型归类训练，甚至不惜加大训练难度。

案例1：分式的教学

（参见石树伟．揭示数学本质：变“单薄”为“厚重”【J】．数学通报，2015（7）：30-31）

“分式”的内容相对“单薄”，但在教学时要让它变得“厚重”，至少要让学生理解如下两个问题：

（1）分式怎么来的？为什么会想到要研究分式？

回答这个问题，可创设如下情境：从小学到现在，数系经历了一个怎样的扩张过程？用字母表示数就有了代数式，我们已经学习了哪些种类的代数式？类似数系请展望一下代数式未来的扩张方向。

师生共同回顾展望数与式的扩张过程，逐步形成如图所示的板书：

（2）如何研究分式？

回答这个问题，可引导学生类比分数，设想分式将要研究哪些内容；再类比整式，设想分式将要研究哪些内容。尝试展望一下分式研究的路线图。

教师引导学生分别类比分数和整式展望分式研究的内容，逐步投影呈现下图内容，共同“绘制”分式研究的路线图：分式概念、分式基本性质、分式运算、分式方程。

上述案例非常重视知识结构的建构，既有向外——把分式置于“数与式”整体中的宏观知识结构，让学生体会分式与其他知识的联系和区别；也有向内——展望分式研究内容的微观知识结构，让学生了解分式内部知识之间的逻辑联系。这样教学，通过构建知识结构显本质，有助于学生用宏观视野对数与式的基本框架和本章的研究脉络有一个整体认识，加深学生对知识的理解。

2

教思维

（1）概念教学

下列现象司空见惯：

在概念教学中，教师往往先展示一个似与概念相关的情景（有时此环节省略），再照本宣科地抛出概念，或学生看教科书中概念的表述，然后教师提出该概念的注意事项，最后是理解概念的相关练习，比如通过关键字、词设计的填空题，正例反例判断题，简单的应用等。

点评：这种被老师牵引的仅围绕概念“是什么”展开的教学，学生的思维参与及情感投入都是低水平的，很难和概念形成亲密关系，对概念的理解是肤浅的在所难免。

看一组概念题：

概念教学像上面那样“钻牛角尖”，完全没有必要。概念教学最重要的是：让学生的思维参与到教学中来！要想让学生的思维参与概念教学应注意：

①拉长概念引入和建立的思维链条，让学生的思维参与更深入。

数学概念教学通常分为引入、建立、巩固和运用等四个阶段。教师往往概念的引入和建立匆匆忙忙，而概念的巩固和运用扎扎实实，这是一个误区。

②寻找新概念可利用的前概念，给学生的思维参与以方向。

对于上下位概念、并列概念、类比概念等，当其中之一已学习过，再学习相应的概念就应该给学生更多的自主空间。当学生思维受阻时，启发学生联想相应前概念研习的方法和结论。（如分式的教学）

（2）教思维要重视变式训练

案例2：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。

对此可进行下列变式训练：

让学生成为变式训练的主体：

①要让学生进行“要我变”的训练

让学生变题可以训练他们的类比、归纳、联想等一些命题变化的基本技能，甚至可以在变化的过程中发现一些有趣的数学问题，既提高了学生学习数学的兴趣，也使他们认清一些数学问题的来龙去脉，从而提高问题解决的参与感，为数学教师提供源源不断的数学问题研究素材，一举多得。

②在学生“要我变”的基础上，让学生主动地产生“我要变”的欲望

例如：在一张试卷的最后可以采取开放式加试题：请你针对本卷中的任何一个问题进行变式，使之成为一个有趣的或者比较有意义的数学问题，并给出你的解答或发现、建议等。

③对学生进行一些数学问题变化技能的训练（“如何变”）

例如：可以利用四种数学命题之间的变化进行变题训练；可以利用类比、归纳、实验、猜想等数学思想方法创设一种让学生产生数学问题变化欲望的情境。

（3）让学生的思维参与教学还应注意的方面

①讲例题时，教师要注意给学生展示自己的思维过程，不要仅呈现解答过程；

②平时应给学生布置一些有思考性的趣味问题。

案例3：水缸问题

给你一个5升的水缸和一个3升的水缸，还有无限量的水，你如何才能准确计量出4升水？

案例4：数学游戏“抢20”

这是一个两人的游戏，规则是这样的：

（1）从0开始；

（2）1号选手在此基础上加1或2；

（3）2号选手在1号选手得数的基础上加1或2；

（4）两位选手交替加上1或2；

（5）最先得到20的人就获得胜利。

3

教思想方法

下面通过三个案例加以说明。

案例5：列方程解应用题的教学

在讲授列方程解应用题时教师习惯将列方程解应用题进行分类，如分成工程问题、浓度问题、行程问题、调配问题等等。在学生练习列方程解应用题时，要求学生先看属哪一种类型，再看这种类型有哪些等量关系。丰富多彩的列方程解应用题本来是培养学生解决问题能力的良好载体，但经过教师的“教学加工”后，变成了“套类型”的纯粹技能训练。列方程解应用题本质上是数学模型方法的基本应用，它的基本模式可用如下框图表示：

通过列方程解应用题的教学，应该使学生掌握数学模型方法的实质，培养学生的数学应用意识和应用数学的基本能力，使学生遇到一个实际问题时，能够直觉地尝试应用数学知识予以解决。大千世界是千变万化的，实际问题层出不穷。因此，数学应用题的选材和呈现方式应多样化。应该淡化人为编制的应用题及其解题分析。

案例6：一次函数的图象（“数形结合”思想）

（参见殷容仪．顺序渐进的教学是培养学科核心素养的有效途径【J】．数学通报，2017（1）：14-16）

讲授一次函数的图象，不能仅要求学生按照“列表、描点、连线”的步骤去操作，而应给学生讲清思想。函数图象的教学主要存在三个“时间窗口”，需要顺序渐进：

第一个“时间窗口”：“数轴”的教学；

第二个“时间窗口”：“平面直角坐标系”的教学；

第三个“时间窗口”：“一次函数图象”的教学。

这是一个有“长度”的教学，三个“时间窗口”节点上的教学内容和教学要求，环环相扣，层层递进。如果只是一味强调通过列表、描点、连线来作图，无非就是给学生一个画函数图象的技能，无助于数学思维的发展，更不能形成数学思想。承载数学素养形成的数学知识本身往往有一个发生发展的过程，它需要用有“长度”的教学去达成有“深度”的教学。

首先，对这些教学内容及其内在的逻辑联系要深刻理解，精准把握；

其次，要有准备打“持久战”的意识；

最后，在教学实践中要均匀用力，不偏不废，持续推进，促进学生思维不断向前发展。

案例7：“分类”思想

①画出所有满足条件的图形；

②针对所画的图形，你可以研究什么？

（10）若等腰三角形有一边为10，面积为30。求它的另外两条边的长。

（以上10道题参见周雪兵．关于数学思想方法的课堂教学设计探究——以“感受分类”为例【J】．数学通报，2016（11）：40-41）

（11）国际象棋的棋盘（8×8）有多少个正方形格子？

分类：按边长分类

边长为1：1×1

边长为2：2×2

边长为3：3×3

边长为4：4×4

边长为5：5×5

边长为6：6×6

边长为7：7×7

边长为8：8×8

边长为1时，易知有8×8=64个方格。

当边长为2时，如图有重叠。

如图，这时可用标注中心的办法计数。边长为2的方格个数即为中心点的个数：7×7=49。

当边长为3时，同理可得方格数为6×6=36。

因此，方格总数为：

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