素养导向下“指数函数的概念”的教学设计与思考

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1引言

      《普通高中数学新课程标准（2017年版）》（下称“新课标”）指出：数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展过程中发挥着不可替代的作用.数学教学承载着落实立德树人的根本任务、发展素质教育的功能.随着数学课程改革的深化，培育学生的数学学科核心素养已成为数学课程的重要目标.在数学教学中，如何培育学生的数学核心素养，促进学生的全面发展，已成为数学教育工作者的重要使命.课程的实施要以发展学生的数学核心素养为目标，就需要基于数学核心素养进行教学设计，教学设计是对教学活动作出的系统规划和安排，对数学课堂教学起着统领的作用，基于数学核心素养进行教学设计，是落实数学核心素养的关键所在.

2 素养导向下指数函数的概念的教学设计

2.1内容与学情分析

        就认知基础而言，在学习幂函数时，对等式“a^b=c”的不同视角（其中一个是常量，一个为自变量，一个为因变量）形成了不同结构形式的认识，这就是一种基于知识整体性的考量.将字母c和a分别用y和x替换，得到了幂函数的“形式”，继续进行上述操作得到形如“y=a^x”的形式，由此提出“它是否是函数”的问题.再者，学生在学习本节前已经形成了认识函数的一般过程（函数的概念——函数的图像与性质——函数的应用），这是学习所有初等基本函数的认知主线，而且在学习幂函数时已经完整地经历过这一过程，已经形成了一定的活动经验.而且，学生经历了指数幂从整数向实数扩充的全过程，已经具备辨认“y=a^x是函数”的认知力和心理基础，即运用函数的概念能认识到“当a为正数时，对于任意的x∈R，都有唯一确定的a^x与x对应”.这样的认识还处于“感觉”的形式化阶段，并不是概念的本质（这与之前学生对指数式的认知更多停留于静态的对象有关）.没有经过数学抽象的认知过程是不可能触及到概念本质以及隐含在知识背后的教育教学功能，也就是说没有完整的建构过程就不能体会到指数函数到底是刻画哪种变化规律的函数模型，这正是本节课要讲清楚的核心之处.

2.2过程与活动设计

（1）复习回顾

       函数是刻画客观世界变化规律的模型，在之前已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数和幂函数，而且在学习幂函数时对等式“a^b=c”进行不同角度的理解，得到了幂函数，再按照“函数的概念——函数的图像与性质——函数的应用”的流程系统学习了幂函数，还提出了“y=a^x是不是函数？是刻画怎样变化的函数模型？”的问题.

（2）问题情境

      情境1：（生物知识）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，设细胞分裂的次数为x，相应的细胞个数为y，则y与x的关系是什么？

      情境2：（物理现象）某种放射性物质每经过1年，这种物质剩余的质量为原理的84%，物质剩余量与时间的关系是什么？

       情境3：（数学文化）庄子曰：“一日之捶，日取其半，万世不竭”，木棰剩余的长度y与经过的天数x之间的关系是什么？

       问题1：这三个关系是函数吗？

    【设置意图】分别从不同学科和数学文化的角度给出三个简单实例，让学生围绕“y=a^x是不是函数？是刻画怎样变化的函数模型？”这一核心问题进行初步认识，为抽象出指数函数的概念提供具体载体.三个情境素材的选择选自苏教版教材中不同位置的素材，发挥学材重构的教学功能.

       情境4：（数学阅读）请阅读下面信息，回答问题.

       随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次.

       问题2：请观察表中的数据，比较两地景区游客人次的变化情况，发现了怎样的变化规律？

     【设置意图】选择人教A版教材中的实际问题作为主要研究的情境，一方面是基于培养学生数学阅读、信息表征能力的考虑，另一方面是为了通过该例的解决回答“指数函数是怎样的函数模型”这一问题.

（3）数学活动

       活动1：表格中的数据便于人们直观地了解每年的游客人数，要去研究人数随年份变化趋势应该怎么做？

——作图.

       数学实验1：利用Excel绘制A、B景区年份与人数的散点图.

       问题3：图象是散点图，为了便于观察，用光滑的曲线连接起来.观察图象，你发现了怎样的变化规律？

——A地景区的游客人次近似于线性增长，B地景区的游客人次则是曲线增长.

       数学实验2：利用Excel绘制散点图的趋势线.

       活动2：可以用一次函数来刻画图1-1中的均匀增长的变化规律，即在相同的时间间隔内，人数增加量相同.回到具体数据去，请算一算两地人次的逐年增加量.

       问题4：根据逐年人次增加量的运算结果（如表2）.能从增加量上发现规律了吗？

——A地年增加量大致相等，约为10万次，B地年增加量逐年增大.

      问题5-1  能用一个具体的一次函数来刻画A地景区人次变化规律吗？

设年份为x，人次为y，则y=600+10(x－2001)=10x－19410.

也可设年份的增量为x，则y=600+10x.

       问题5-2  能用一个具体的函数来刻画B地景区人次变化规律吗？

       这里学生很容易回答“二次函数”，师问：如果是二次函数怎么求出解析式？（选择三组数据代入即可算出）再追问：算出的解析式一定适合其它数据吗？你选择二次函数的理由是什么？如果二次函数不准确又怎么办呢？

     【设计意图】通过对所给数据进行多维度认识（单个看，整体看，从增量看），借助信息技术进行数学实验，让学生通过观察散点图去进行直观想象，他们是容易发现A地景区的变化规律——近似于一条直线，引导他们选择合适的数学模型（一次函数）去描述这种变化规律，而且还让他们知道选择一次函数的合理性.这一过程对刻画B地景区人数变化规律的函数模型起先行组织者作用，要让学生知道寻找变化中的不变性是准确建模的本质.

      活动3：B地人数与年增量如何刻画呢？仿照A地的探究过程，从定量的角度来表达它的变化规律？

       通过作差的方式研究了A地相邻两年的增加量（几乎不变），这是选用一次函数刻画线性增长提供理性支撑.尝试也通过作差的方式或者其它运算方式来研究B地的数据变化规律.

通过尝试，发现从2002年起B地相邻两年人数的比值稳定在1.11左右.

       运算表明，B地的游客人次的年增长率都约为0.11，这是一个常数.像这样，增长率是常数的变化方式，称为指数增长，所以，B地景区的游客人次近似于指数增长.

       活动4：写出B地景区人数变化规律的函数解析式.

       从 2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：

1年后，游客人次是2001年的1.111倍；

2年后，游客人次是2001年的1.112倍；

3年后，游客人次是2001年的1.113倍；

……

x年后，游客人次是2001年的1.11x倍.

如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么y=1.11^x (x∈[0,+∞)).

     【设计意图】通过类比A地旅游人次函数模型建立的过程，借鉴已获得的活动经验去进行新的认知活动，进行同化顺应的认知过程，其中有研究方式“失败”后重新调整的经验积累，也有发现变化中不变性的“成功”，这对训练学生数学探究的心理是有帮助的.

       小结一下刚刚学习的思维导图：

（4）意义建构

        问题6：上述y=2^x，y=0.84^x，y=，y=1.11^x是我们从生活实例中抽象出来的模型，这些模型的形式都满足统一的形式“y=a^x”，你还能再举几个生活中类似的模型吗？

       定义：一般地，函数y=a^x（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

    【设计意图】问题6是让学生进一步认识到指数函数模型是刻画一类变化规律的重要模型，它与我们的生活息息相关.在此过程中，完成了对原始问题“y=a^x是函数吗”这一问题的回答，学生通过一系列数学抽象以及抽象后回找实例的过程，真正明白指数函数的概念不单纯是一个形式化的符号表征.

（5）数学运用

分析：根据指数函数的定义，其中的系数为1，由此求出a的值，进而求出解析式.

     【设置意图】问题7是概念辨析，是对概念形式的直接理解，例题及其变式均为了让学生根据指数函数概念的属性（系数为1，a>0，且a≠1，a是常数等）进行直接应用.此环节中通过呈现正例、反例，促进学生对概念形式的理解.

（6）归纳小结

       指数函数的概念的建构过程

       提出问题——三个实例初步感受——一个实例的建模过程——形成概念——概念理解

3 教学设计的组织实施要突出数学核心素养

3.1通过问题设计数学建模活动，让学生经历数学建模的全过程

       数学建模活动全过程包含如何让学生经历数学建模的典型过程，如何让学生尽可能自己提出问题与假设，自己建立数学模型，自己运用数学方法和计算工具求解，自己给予结构解释或赋予实际意义，自己判断结果是否符合实际要求，等等.学生要通过经历建模完整的过程，真实地解决一个实际问题，由此积累做数学、学数学、用数学的经验，提升数学建模素养.

       在本节课的探究活动设计中，就是带领学生经历数学建模的全过程.从数据的处理到选择恰当的函数模型来拟合数据，这是基于学生认知经验与认知需求的矛盾冲突而进行的活动，是深度认识概念的重要过程.学生在选用二次函数作为拟合B地区人数变化的函数模型时，要求他们说出选择二次函数的理由，让他们意识到选择合适的函数模型，不仅要有观察后的直观想象，还要有符合逻辑的理性支撑，不能仅仅依靠“直觉”（选择二次函数仅仅是学生认知结构中仅有的函数模型“库存”而作出的回应），而应由此引发学生进行理性的思考，用数学的思维分析问题，是培养学生理性思维的一次契机.当然，在整个建模过程中，学生在直观想象、数据处理、数学建模等其它素养上也得到了相应的发展.

3.2 情境与问题的设计应利于发展数学学科核心素养

       数学核心素养的形成与情境有密不可分的关系，素养是在综合化、复杂化的情境中，通过学生与情境的有效互动而生成.在创设问题情境时，要抓住数学的本质，围绕数学中重要的、本质的概念、原理和解决问题的思维方式来创设教学情境和提出问题，问题设计应体现知识的内涵.因此，在教学中应根据教学目标及其蕴含的数学核心素养，设计切合学生实际的情境和问题，引导学生用数学的眼光去观察现象、发现问题，用恰当的数学语言、模型描述问题，用数学的思想、方法解决问题.

       在这节课中，设计了四个具体情境，其中前三个情境是从不同学科及数学文化的角度让学生初步感知指数函数的普遍性，重点研究的第四个情境是承载着所有核心素养的典型素材，也是实现概念从感性认识到理性认识的重要载体.在整个建模过程中，通过设计问题或问题链，一步步引导学生认识并理解指数函数到底是什么样的函数模型，学生在问题中逐步理解了指数函数的本质，促进了学生核心素养的发展.

3.3 整体把握教学内容，促进数学核心素养连续性发展

       数学核心素养的发展具有整体性和连续性，是学生在学习过程中逐渐形成的.因此，教师要以核心素养为导向，抓住知识主线，引导学生从整体上把握课程内容的结构体系，促进学生数学核心素养水平的发展.其中，数学建模活动与数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的重要载体，教师应整体设计数学建模活动与数学探究活动，引导学生从模仿到自主，从局部到整体，积累发现、提出、分析和解决问题的经验，积累独立思考和合作交流的经验.

       在这节课之前，已经从不同角度表征等式“a^b=c”（y=x^b，y=a^x，x=a^y），并由此得到幂函数的概念，而按照“概念——图象与性质——性质”的路线进行了研究，在此基础上也得到了指数函数最初的形式，这样处理就是基于从整体把握教学内容.其次，用一次函数拟合A地人次变化的建模过程正是学生研究B地人次变化规律的经验所在，学生可以借鉴这样的经验去进行新的探究活动.当然，在这个探究过程中还是有一些细微差别的，当原有的“作差”失效后引导学生进行新的探究方向（作商），这样的局部研究对学生思维品质的提升是非常有益的.

3.4 发展学生的“四基”与“四能”是素养导向下教学设计的关键

       传统教学中，学生习惯于接受现成的结论（比如直接告知形如y=a^x，a>0，且a≠1的函数叫指数函数），在运用知识解决一些已经提出的问题，教学的重点是训练解决问题时的技能技巧，造成了技能虽强，但创造力不够的状况.在教学中，应为学生提供像“指数函数的概念”这种基于发现的更有价值的数学活动.从实践来看，结合课程内容的实际要求和学生的年龄特点，适时、适度地引导学生从日常生活中和具体情境中发现、提出数学问题，进而分析和解决问题更利于发展他们的“四基”与“四能”.

       其中，笔者认为发现问题和提出问题是现今学生比较缺失的能力，教师应有意识地引导学生学会从数学的角度去观察生活，对生活现象进行数学思考，通过对现象的梳理、概括、提炼，并用数学的方式思考“是什么？为什么？怎么样？有什么用？”等问题.如本节课应让学生思考：y=a^x是函数吗？它是怎样刻画变化规律的函数模型？如何运用它研究问题？等等.这个过程不仅是学生运用已有知识、技能、思想方法和活动经验进行数学抽象的过程，更是融入了六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数据分析、数学运算）的要求，有效支撑了数学学科素养的发展.

3.5 素养导向下的教学设计要基于课程标准，又要整合多版教材素材

       教学设计要研究课程标准和教材，课程标准是教材编写的纲领，教材是课程标准的具体体现，是最重要的课程资源，教学设计要研究课程标准和教材.教材在内容编排、呈现方式、学生活动方式设计、考核评价等方面为教师教学提供了范例与启示，具有引领教学的功能[4].教学设计是教师对教材（多版教材）解读、加工与细化的工作，不同版本教材的编写各有特色，教师在教学设计时应研读课程标准，确定课程目标后再研读多版教材，对各版教材中的相关素材进行整合应用.

       本节课中前三个情境来自苏教版新教材中的章首问题、例题以及数学文化中的经典问题，情境简单易懂，容易建构，适合学生在概念学习的初始阶段进行感知，而第四个情境则选择人教A版中的旅游经济问题，是这节课重点要进行数学建模活动的实际问题.这四个情境提供给学生从感性认识到理性认识的具体材料，对指数函数的概念的 建构起着关键作用，体现了数学文化、数学建模与数学探究的多理念融合，将发展学生数学核心素养培养目标植入其中，极大地发挥了不同教材素材的教学功能.【本文发表于《数学通讯》】

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