培养高阶思维的数学课堂如何打造？她在课堂和习题中找到答案

顾筱峦是无锡市东湖塘中心小学的一名数学教师，现任学校教导处副主任和数学学科组长。她认为“小学阶段数学学习的目的就是为学生打好思维‘体操’的基本功”，在教学中她以“联”见思，以“问”见思，在课堂和习题中培养学生的高阶思维能力；在课堂之外，她研读教材，善于反思，于《理科爱好者》、《教育界》等期刊上发表了多篇论文，论文多次获得省级、市级奖项。

思维智汇特别策划了“寻道思维型教学之教师篇”系列报道，旨在挖掘学校一线教师与思维型教学相关的事迹，分享思维型教学的典型经验，让更多学校、师生从中受益。

本文为“寻道思维型教学之教师篇”系列报道第十篇。

本文共5190字，仔细阅读需13分钟

▲顾筱峦

发挥引导作用，助学生打好“基本功”

每论及思维，总能自然而然的联系到数学这一学科。现代数学论认为：数学教学是数学思维活动的教学，而不仅是活动的结果；数学学习的目的不仅是为了获得数学知识，它的作用主要是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质。

“数学是思维的体操”，在我看来，小学阶段数学学习的目的就是为学生打好思维“体操”的基本功——练就基本的数学技能，掌握基本的数学思维方法，通过数学学习，能培养学生初步的逻辑思维能力，提高学生的思维品质。

小学数学教学大纲指出：“培养学生所学的内容进行初步的比较、分析、综合、抽象、概括、对简单的问题进行判断、推理。同时注意思维的敏捷和灵活”。然而在多年的教学实践中，我发现学生在数学学习上存在着思维惯性。

一方面表现为积极影响，体现在学生面对新的知识或者新问题时，会联系已经学过的知识，以前解决同类问题的方法，进行正迁移，用旧知、已有经验学习新的知识，解决新的问题。

另一方面则是消极影响，在面对一些变式问题时，学生的思路也容易受已有思路的误导，产生定势思维，思维的趋向性使学生无意识将自己的思维活动局限在原有的固定模式中，这个时候已有的思维会成为开拓新思路的枷锁。

2018年10月，我们参加了“基于核心素养的课程与教学改革论坛暨思维型教学优质课展示”活动，第一次接触到思维型教学。我结合思维型教学理论与自己以往的实践、总结，发现要培养学生的思维品质，正确引导学生的思维惯性，需要以生为本，发挥教师的引导作用。具体可以表现在以下三个方面：

▲顾筱峦和同事

1

思维起点处，以问题作为引领

通过教师的问题引领，使学生产生认知冲突，激发学生思维上的冲突与矛盾，从而激发学生对新知的强烈需求，促使思维的拔节生长。

2

思维碰撞处，以实践交流为引领

通过教师的引导，让学生经历动手实践、自主探索，在合作交流中经历知识获得与形成的过程。

3

思维延伸处，以阶梯式的内容为引领

教师要着眼于学生的最近发展区，不断提高提供难度递增的学习内容，从而为学生超越思维的最近发展区提供思维的阶梯。

课堂教学：多联系，重疑问

而落实到课堂教学中，这既需要我们鼓励和引导学生进行自主探究，体验数学学习的快乐，提升数学思维能力，又需要让学生对已有经验进行强化，通过新旧问题间的比较、辨析发散思维。

1

思维生长处，以“联”见思

建构主义认为：学习者并不是空着脑袋进入学习情境的。以“联”见思，就是要把学生已有的知识经验、生活经验与新知相联系。在教学时，把学习者的知识经验作为学习新知的生长点，有目的地创设问题情境，使学生产生认知冲突，激发学生思维上的冲突与矛盾，从而激发学生对新知的强烈需求。

例如，在教学苏教版四年级下册《认识梯形》时，我是这样设计的：

先通过图片展示，让学生对梯形有一定的感性认知。

教师再将装有平行四边形等图形的信封袋（其中无梯形）交给各小组，让学生从中找出梯形。

当学生没有找到梯形时，教师提出新问题“把不是梯形的图形变成梯形”。

接着，学生根据新问题展开合作交流。

▲顾筱峦和学生

由于四年级的学生在二年级时已经认识了梯形，所以大部分学生都能在各种平面图形中认识并指出梯形。而没有放置梯形的信封袋又能引发学生产生对梯形的关注。这时，“把不是梯形的图形变成梯形”的新问题能进一步引起学生对已有认知的反思与推演，为思维的生长提供落脚点，使学生的思维与认识“梯形的特征”、“梯形与其它平面图形的区别与联系”自然联结。

2

思维冲突处，以“问”见思

学习不是被动地接受信息，而是主动地根据自己的已有知识经验，对信息进行自主选择、加工和处理，从而获得成功的喜悦。以“问”见思，就是要引发学生的疑问和认知冲突，产生探究问题的兴趣。因此，教师在教学时应当关注知识经验的教学价值，以学生为中心，让学生经历动手实践、自主探索，在合作交流中经历知识获得与形成的过程。

以苏教版二年级下册《角的初步认识》的学习为例，这是学生第一次接触数学角，但生活中也有角，只是他们对数学角没有形成正确的认知。我们就可以结合学生关于生活角的认知，设置生活角与数学角的认知冲突，引导学生在反思、争辩中，初步认识数学角：

通过三角尺，从生活中常见的角引入让学生的认识。

教师让学生指出三角尺上的角（由于低年级学生对角的认知不完整，只指出了角的顶点）。

教师将学生指出的顶点画下来，成一个点，通过提问让学生对角的认知产生质疑。

基于认知冲突，教师再让学生指一指角的样子，体会角的本质。

整个环节紧紧扣住角的静态概念：即具有公共端点的两条射线所组成的图形是角，让学生形成直观认知，通过质疑互动指出角不是指这一个点，还包含这两条边，充分利用了学生认知过程中的“误区”，自然地从生活实际过渡到数学知识中，让他们的思维经历冲突与修正，对角的本质有了更为深刻的理解与认知。

习题设计：重对比，多变式

在知识点的教学之外，要培养学生的高阶思维能力，我们还要关注习题的设计和练习课的教学。

1

在对比练习中优化学生灵活思辨的能力

在数学练习中，计算往往是学生最不喜欢的。尽管我们常常用大量的计算题来培养学生的计算能力，但练习的量和正确率有时却不成正比。我们就在计算练习中需要加入各种对比练习，加深学生对知识本质的理解。

一方面，要在难点处对比，加强认知。例如：学习三年级上册《商中间有0的除法》之后，可以设置这样的练习：

竖式计算：204÷2     214÷2

面对商中间有0的除法，我们在教学中更多关注的是商中间为什么要商0，学生记忆深刻的也是“不够商1就商0”，而对于十位上不够商1时，这个“1”该如何处理也是一个难点。练习时这样的两道对比竖式计算放在一起，就可以引发学生的思考：除数相同，被除数不同，结果还会都是102吗？十位上1除以2，不够商1就商0后，怎么办？

有了这样的对比辨析，学生对商中间有0的除法就有了更深入的认识。

▲顾筱峦和学生

一方面，要在易混处对比，加强理解。我认为，要使学生练就透过现象看本质的本领，训练办法就是：从本质出发，不断变化出题的形式。

例如：乘法分配律是继乘法交换律、乘法结合律之后的新的运算定律。它不同于乘法交换律和结合律这些单一的运算，从某种程度上来说，其抽象程度要高一些。因此，对学生而言难度偏大，像“45×99+45”这样类型的题目，学生往往难以判断是否能用乘法分配律。

在教学中，我给这样类型的题目赋予了一个新的名称，即“隐形的翅膀”，以激起学生兴趣。而在学习了乘法分配律的简便计算后，我花了一节课的时间和学生一起深入理解了这些看着相像，却又完全不同的简便计算：

（1）37+99    37×99    37×99+37

（2）37＋101  37×101   37×101-37

（3）25×（40+4）   25×（40×4）

（4）137+98    137—98

这样的对比练习让学生产生了思维的碰撞，区分了不同运算律的不同运用，完成练习的正确率较之前有了不小的提高。事实告诉我，没有对比，学生难有清醒。在学习了新知识、新策略后，后继学习的东西容易对先前学习产生干扰，而这种影响不可小视。

▲顾筱峦和学生的互动

2

用多变的题型锤炼学生深入思考的能力

在众多的练习中，很多的习题之间是存在一定联系的。以一道题为例，一题多解、一题多变、一题多用，这样的锻炼能帮助学生从多层次、广视角、全方位地认识、研究问题，建立一定的问题体系，真正培养数学思维能力。

在苏教版四年级下册《相遇问题》一课，书中的例题是这样的：

小明和小芳同时从家里出发走向学校，经过4分钟两人在校门口相遇。他们两家相距多少米？

学生可以通过画图或列表的策略来解决这道题，同时，其解题方法不尽相同，可以先求两人的路程再相加，也可以用两人的速度和乘时间，学生可以发现，这两种不同的方法都符合之前学习的乘法分配律。

但该问题的解决到这儿还是远远不够的。在接下来的练习设置中，我选用了这样一些变与不变的问题：

练习1：小明和小芳同时从家里出发走向学校，经过20分钟两人在校门口相遇。他们两家相距多少米？

练习2：小明和小芳同时从学校出发回家吃饭，小芳每分走60米，小明每分走70米。经过4分，两人相距多少米？

练习3：小明和小芳在环形道上走，两人从同一地点出发，反向而行。小明每分走70米，小芳每分走60米，经过4分两人相遇。环形道长多少米？

练习1的设置是为了巩固学生对相向而行画图策略的理解，掌握解题方法；当练习2、练习3出示后，学生很快就发现其实不需要再次画图或重新列式。尤其当练习3出示后，有学生脱口而出：“只要把弯曲的跑道拉直即可！”

很显然，相向、相背、化曲为直这些行程问题中的经典问题已经被学生所掌握，他们已经在脑袋里建立起了这样的数学模型。而有了这样的模型，工程问题自然引出。

▲顾筱峦和学生

为了防止学生的定向思维，在练习的最后我还出示了一道这样的练习：小明和小芳同时从学校出发去图书馆，小芳每分走60米，小明每分走70米。经过4分，两人相距多少米？

经常用这样的灵活练习，可以引导学生从各个角度去思考问题，发展学生的求异思维，使其创造性地解决问题。

而一题多变还有利于学生抓住问题的本质，发展创造性思维能力。例如六年级上册练习中有一道这样的习题：

一件羽绒服400元，先涨价1/4，后又降价1/4，现价多少元？

学生经历具体的探究，明确两次价格的变化的单位“1”是不同的之后，才能正确地进行解答。我们不妨变换条件或者问题，让问题多面化：一件羽绒服，先涨价1/4，后又降价1/4，现价与原价一样多吗？

思维能力强的学生想到的是：虽然涨和降的幅度相同，但是单位“1”不同，所以现价肯定和原价不同。

思维能力一般的学生则会想到：虽然现在衣服的原价不知道，但我们可以假设一下它的原价，然后像刚才一样算出现价，然后跟原价比一比。这样计算，虽然显得有点繁琐，但是他们有一个“具体的实体数据”可供判断，心里比较踏实。而且，多次举例之后，这些学生也能够慢慢悟出其中的原理。

然后可以继续改编：一件羽绒服，先涨价1/4，后又降价1/5，现价与原价一样多吗？

这一题与前一题相比，在于降价的幅度发生了变化，所以单位“1”和价格改变幅度都发生变化的情况下，是不能肯定现价和原价是绝对不一样的。

但思维能力一般的学生只要踏实举例验证，还是比较容易获得现价与原价是一样多的结论。而对于思维能力强的学生，则可以更进一步要求：不举例，你能证明现价和原价一样多吗？

▲课堂上的顾筱峦

学生定会认识到：把羽绒服原价看作单位“1”，涨价后的价格是5/4，再降价是5/4的1/5，相当于降了原价的1/4，所以现价和原价是一样多的。

这些变式练习实际上都是为了减免问题单调的重复，避免学生兴趣的衰退，让学生在千变万化的过程中学会辨析，能够透过问题现象看清问题的本质，从而能够概括整理，体会问题中所蕴含的数学思想与数学方法。

其实，无论是在课堂教学中还是在习题训练中，要发展学生的思维能力，都需要教师能够心中有“本”。

而所谓“本”，是对教材内容的钻研，纵观教材，理清教材线；横观教材，从不同版本中把握知识本质；是研读学生，了解学生的已有认知；也是进行教学反思，总结教学经验后的积淀。这样，学生才能在长期的学习熏陶中掌握于“千树万树梨花开”的璀璨情境中“溯本逐源”的本领。

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