学生创作-集合小题(郑霄鹏)

 正式推出学生作品专栏~当当当当

顺便正式推出第一道非几何题

小作者:郑霄鹏

某一个风和日丽的中午, 有一个成都某中的小朋友A君加我好友并询问了我一个问题, 当时虚荣心爆棚的我觉得帮他解决一下他的疑惑, 然后他就给我发来了一本小蓝皮样的题目, 题目如下:

(集合-第三版某页)例4 设集合含有个元素, 是不同子集, 他们两两的交集非空, 而的其他子集不能与都相交, 求证: .

然后这个小朋友君发现原书中答案证明是有问题的,因此这里就不再展示书上到底是怎么错的了,那么现在有兴趣的同学可以顺便思考一下这个题目怎么做了~

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现在剖析一下该题

其实注意到题目中涉及到的两个条件:

• 两两的交集非空

• 的其他子集不能与其都相交

两个条件直观上一个负责证明,一个负责证明;

证明:(郑霄鹏)

将的个子集两两互补的放到一组, 一共组, 注意到若取出多于个子集, 则必有两个属于同一组, 则同一组两个子集没有交集, 不符合题意, 故.

另一方面:

Claim: 这组中不会出现某一组都没有被选作;

Proof: 反设若存在一组均没有被选作, 记为, 则.

若存在, 则对, , , 与条件2矛盾! 故不是的子集!

则, . 故与条件2矛盾!

因此得证!

回到原题, 根据Claim得到

故原命题证毕!

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(本篇内容码于质心姐姐脸模旁边)

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