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关于交互项，参考：1.实证研究中交叉项的使用和解读策略指南案例，2.未引入交互项主效应为正, 引入后变为负, 解释出来的故事特别好, 主效应符号确实增强了故事性，3.异质性分析用来检验中间传导机制, 分组回归或交互项就可以完成机制分析，4.关于“交互项与分组回归有何区别”的讨论，5.不强调内生性, 用极简截面数据和交互项, 就将经济学故事讲到领域Top刊！6.计量社群里关于使用交互项还是中介效应分析开展机制研究的讨论，7.DID中行业/区域与时间趋势的交互项, 共同趋势检验, 动态政策效应检验等，8.空间计量和交互项如何使用, 将空间计量进行到底，9.交互项模型的发现, 多大程度上可信呢? 10.交互项中主效应不显著, 交互项显著可怕吗? 11.交互项与分组回归的区别是什么? 异质性分析，12.面板数据中去中心化的交互项回归什么情况，13.内生变量的交互项如何寻工具变量, 交互项共线咋办，14.计量经济学中"交互项"相关的5个问题和回应，15.计量回归中的交互项到底什么鬼? 捎一本书给你，16.省份/行业固定效应与年份固定效应的交乘项固定效应，17.logit和probit模型中的交叉项, 如何求边际效应，18.实证研究中交叉项的使用和解读策略指南案例固定效应回归模型中的交互项
正文
关于下方文字内容，作者：邓清文, 中国人民大学应用经济与区域发展管理，通信邮箱：qingwen@ruc.edu.cnMarco Giesselmann, Alexander W. Schmidt-Catran, Interaction in Fixed Effects Regression Models, 2020, Sociological Methods & Research
An interaction in a fixed effects (FE) regression is usually specified by demeaning the product term. However, algebraic transformations reveal that this strategy does not yield a within-unit estimator. Instead, the standard FE interaction estimator reflects unit-level differences of the interacted variables. This property allows interactions of a time-constant variable and a time-varying variable in FE to be estimated but may yield unwanted results if both variables vary within units. In such cases, Monte Carlo experiments confirm that the standard FE estimator of x·z is biased if x is correlated with an unobserved unit-specific moderator of z (or vice versa). A within estimator of an interaction can be obtained by first demeaning each variable and then demeaning their product. This ”double-demeaned”estimator is not subject to bias caused by unobserved effect heterogeneity. It is, however, less efficient than standard FE and only works with T > 2.
固定效应回归模型中的交互项
固定效应（FE）回归中的交互项通常由交叉项减去每个个体乘积均值（去均值化）来计算。但是代数转化表明，我们难以用这种方法（去均值化）去计算组内估计量。相反，标准的固定效应（FE）交叉项系数估计值反映的是交互变量在组间水平上的差异。这一特性允许FE估计时间恒定变量和时间变化变量的交互作用，但如果两个变量都在单位内变化，则可能产生期望之外的结果。在这样的情况下，MC 的实验进一步证明了，当x和z的一个未观测到的个体特化的变量相关时，交叉项x·z的标准固定效应估计量是有偏的（反之亦然）。首先将每个变量去均值化，然后对它们的乘积去均值化，可以得到交互作用的组内估计量。这种双重去均值化的估计量并不会受到由于未观测的异质性效用造成的偏误的影响。但是这种方法没有标准的固定效应模型（FE）有效，并且只能在T>2的时候使用。固定效应（FE）回归是实证社会科学家经常使用的方法，尤其是在分析面板数据时。从形式上看，FE估计量是由以组内均值为中心的普通最小二乘法（OLS）估计定义的。这种估计方法受欢迎的主要原因是它有更好地解释因果关系的潜力。固定效应中变量间交互作用（interaction）的衡量就成为一个值得关注的问题。在本文中，我们特别关注两个随时间变化的变量之间交互作用的估计。在原始的回归框架下，变量间交互作用通常用交叉项的系数来衡量。如（1）式中，可以衡量z和x之间的交互作用。和分别衡量了z和x对相应变量的主要效用。
而在固定效应模型中，衡量解释变量间交互作用的标准做法是同其他变量一样进行去均值化处理，如（2）式。这种去均值化的处理方式广泛地应用于实证研究中，同时也被各类统计软件设置为默认的回归方式，这样得出的估计量也通常背认为是组内估计量。
实际上，这种方法得出的并不是交互作用的组内估计量，因为在对（2）式参数的估计中使用了z和x的组间差异，这会包含一定的异质性，也与“固定效用估计量的估计中仅会用到组内离差，不会包含组间差异”的一般定义。这样的方法在本文中称为FE-IE。
关于标准固定效应模型中交叉项系数估计的无偏性，可以由Figure 1解释。在Figure 1的模型中，z1和z2可以影响对y的效应，其中z1随时间变化，包含在模型以内；z2是个体异质性，不随时间变化，也不被观测到。在图A的情况下，z1和z2无关，通过标准的固定效应的去均值化估计，可以得出无偏的交叉项系数的估计量。在图B的情况下，z1和z2相关，这时候通过标准的去均值化估计得出的估计量就是有偏的。因此，使用FE-IE去估计交互作用需要满足包含在模型内的调节变量和未观测到的调节变量之间无关的假设。当这一假设不满足时，我们需要考虑其他的估计方法去估计变量间的交互作用。比如在KÜhhirt 2012年的研究中，对收入和生孩子对夫妻分工的相互作用进行估计时，FE-IE产生的估计量不仅衡量了家庭内收入对生孩子的影响，同时也包括了这个效用随收入水平变动而产生的差异。因此，它包括与收入相关的时间不变的不可观察因素对生孩子对夫妻分工的效用的影响。因此，该模型的FE交互作用估计假设，这种单位特定的不可观察因素要么不调节生孩子对分工的影响，要么与收入不相关。如果这两个条件都不成立，如图1B所示，标准的FE交互作用估计值将有偏差。z和x对y的交互作用的内部估计量衡量x的组内效应与调节变量z的组内变化的关系。FE-IE使用组间的效果差异来确定交互作用的最直接的证明是，在FE中，组内特定的特征（即组内恒定的变量）可以被估计为时变变量x的调节变量。这一属性意味着去均值化的乘积项具有一种基础的算术特征：一个因素的组内特定平均值越高，另一个因素的特异性在因素的去均值乘积中就越强烈地凸显出来。因此去均值乘积项的组内特定方差取决于x和z的组内特定水平。正因如此，去均值乘积项服从一个特定的分布，这个分布反映了交互作用的两个变量的特异性和组内特定水平。这种算术特征使我们能够在FE回归中区分不同类别（或水平）的时间常数变量的组内效应。
（一） 两个变量都没有组内变化
（二） 其中一个变量有组内变化
因此，在这种情况下，去均值化的乘积项衡量了z的组间差异和x的组内差异，同时FE-IE也估计了x的组内效应如何随着z的组间差异的变动而变动。这是在经验实践中被广泛使用的FE的一个特点。因为它允许对时间恒定和时间变化的变量之间的相互作用进行FE估计，所以得到广泛应用。因此，如果用FE回归分析一个时间恒定变量和一个时间可变变量的交互作用，去均值化乘积项通常是一个有用的策略，尽管（或者说是因为）它不能得出一个严格的组内估计。我们已经看到，两个时间恒定的变量在去均值化的交互项中被完全消除了。然而，只要有一个变量具有组内变化，另一个变量的个体特定成分就会反映在它们的去均值化乘积项中。因此，如果两个变量都具有组内变化，FE-IE将从两个变量的个体特定水平的差异中识别出来。在这样一种情况下，等式（3）可以改写为；
进一步改写为：
可以看出，对于任意观测{i, t}，去均值化的乘积项包含了两个变量的个体特定水平。具体来讲，去均值化的乘积项由以下部分决定：（a）z的个体特定水平和x的组内离差；（b）x的个体特定水平和z的组内离差；（c）x和z的组内离差。因此对于两个具有组内变化的变量而言，FE-IE估计量衡量了以下效用：
因此，FE-IE不仅衡量x对y的组内效应如何随z的组内变化而变化，它还反映了z的个体特定水平对x的组内效应的影响，反之亦然。这意味着它没有控制x和z在不同组的相关效应异质性，这也从代数的角度解释了为什么 Balli 和 Sørensen 201年的研究中提到的，在存在不可观察的个体效应异质性的情况下，标准的FE交互作用是有偏差的问题。我们可以得出结论：FE-IE需要满足这一假设：z组内变化对x的影响与z组内变化的影响相同（反之亦然）。 这些结论依赖于FE误差项中的个体特定效应异质性的持久性，将等式（1）中的误差项写作：
因此，如果存在一个相关的未观察到的时间不变变量，如与相关，那么，即方程（10）中分解的FE误差项的第一个分量，就与，即方程（8）中分解的FE交互项的第一个分量相关。因此，如图1B所示，这种情况下的FE-IE将是有偏差的。当交互作用的两个变量均为随时间变动的变量时，FE-IE不能提供一个严格的交互作用的组内估计量。因此在这一情况下，我们转向使用去均值化后的变量进行估计，及以下方程：
这一项是完全组内变化的交互作用的表达式。这种形式从因素中排除了所有的个体特定的均值，因此这与等式（11）中的误差项的分量都是正交的。除此之外，每组内的乘积项均值都为0，因此这排除了水平、效应以及协方差多个层面上的异质性。因此，当存在未观测到的不随时间变动的变量时，这种形式，dd-IE，得到的估计量是无偏的。然而，与标准的FE交互作用估计方法（FE-IE）相比，使用dd-IE可以消除交互作用项中很大一部分的方差。因此，减少偏差的代价是较低的估计效率。通过一个data-generating-process来模拟：
这之中x, z1, z2都由两部分组成，一部分是个体特定的，另一部分是组内随时间变化的部分，如方程（16）（17）（18）所示：
在生成数据以后，分别用方程（2）（FE-IE）和方程（12）（dd-IE）对生成的数据进行拟合，对于每一种设定的情况组合设置了1,000,000个观测值的总体，其中包含了100,000个个体，每个个体被观测了十次。在这个总体中，我们抽取1,000个样本去拟合两个模型。每个样本包含100个个体和1,000个观测值，每个个体被观测十次。在另外一个模拟中，改变时间点的次数T，让T分别等于3，10，30，并使用方程（11）中的模型进行拟合。这个额外模拟的目的是为了表明，为获得一个无偏估计，对去均值化后的乘积项再次进行均值化是必要的。
然而，在FE-IE有偏的条件下，dd-IE的无偏性是有代价的：dd-IE的效率要比FE-IE更低。在这一模仿中，dd-IE的标准差是FE-IE的两倍左右。
图三是其他因素不变，T不同的情况下，利用方程（11）进行拟合的结果。这些拟合都是在的情况下进行的。拟合结果显示，哪怕是在z1和z2 不相关的情况下，这样的得出的估计量仍然是有偏的。根据图三，这一方法的得到估计量的偏差随着每一个组内观测量的上升而下降。这是因为由两个去均值化变量的乘积项的组内平均值不一定是零，即使相互作用的变量的特异性不相关。每个单位的观察数越少，交互项的单位特定均值偏离零的偶然性就越大。这给交互项的实现增加了随机方差，从而引起了对零的偏向，类似于衰减偏向（回归稀释）。除了朝向零的偏差外，估计量中可能存在系统性偏差，抑制了第二次去均值化。如果两个去均值化变量的乘积系统性地不同于零，就会出现这种情况。之前的部分介绍了dd-IE可以作为一个可选项替代FE-IE，在此部分把dd-IE发到实际问题中去讨论。（4） 在回归分析中作为解释变量纳入去中心化的因变量根据之前的部分，FE-IE的无偏性假设要比dd-IE更强，意味着dd-IE可以在一些FE-IE估计量有偏的条件下产出无偏估计量，但与此同时dd-IE估计量的标准差会更大，即效率更低。在有两个时间变化的交互变量的研究场景中，这两个估计方法中哪一个更受欢迎？这个问题可以与关于组内估计量的一致性和效率之间的权衡取舍联系起来。虽然有些作者说 “扔掉组内变化并不是在浪费数据"（Halaby 2004，第52页），并主张在因果分析中严格使用组内估计量（另见Bru¨derl和Ludwig 2015），但其他作者明确证明在没有时间恒定的不可观察的混杂因素时组间变化是合理的（Allison 2009; Wooldridge 2010）。从后者的角度来看，FE-IE和dd-IE之间的选择取决于对时间恒定的、不可观察的调节器的属性的假设。如果x和z存在效应异质性，这是分层建模中的一个标准假设，并且假定潜在的未观察到的调节因素与其中一个交互变量相关，如图1B所示，交互x z的FE-IE是有偏差的，但dd-IE不是。dd-IE因此看起来是一个更好的选择。相反，如果假设x的不可观察的时间常数调节变量与z不相关，而z的调节变量与x不相关，那么FE-IE将是更好的选择（像图1A那样）。一个可以用来决定FE-IE和dd-IE的经验标准是Hausman（1978）检验。这项技术已被确立为标准，用于测试一个有效但可能有偏的估计值与一个无偏但效率较低的估计值（Wooldridge 2010）。在纵向分析中，它经常被用来决定主效应的RE和FE(Allison 2009)，并且可以很容易地被改编为检验交互作用的FE-IE与dd-IE相同的无效假设。除了理论和形式上的考虑外，研究人员在使用dd-IE之前还应该考虑一些注意事项。其一是，即使是FE-IE也往往在统计上说服力不足(Aguinies 1995)，这个问题在dd-IE中更加严重。另一个更具体的注意事项是，每个组的两个观测值的方差不足以确定两个中心变量的因子的系数。因此，为了应用dd-IE，需要至少三波的面板数据。在不平衡的面板数据中，只有拥有两个以上观测值的组才能对dd-IE作出贡献。因此，研究人员可能会谨慎地使用交互作用的标准FE系数，即使在没有相关时间常数调节变量的假设不成立的情况下，特别是在低T情景下。尽管以组内均值为中心的变量的乘法在T=2的单位水平上产生了一个常数项，但这种识别限制并没有伴随着任何额外的自由度（DF）的损失。第三个观察点允许两个去中心化的产物自由变化。我们在其他模拟中证实了这一点。在DGP的残差没有任何依赖性的情况下，dd-IE的经验SE被每单位1个DF的正常FE推导所正确预测，而减去2个DF会导致对变异性的过于保守的估计（结果可供索取）。因此，只要FE-IE的常规SE估计看起来合适，它也可以用于dd-IE。在FE中控制时间不变的非观察性调节因素的另一种方法是对交互变量的组内特定斜率的整合（FEIS）。FEIS没有通过双重去均值化来消除调节变量效应的组间差异，而是通过其系统化的规范来转化组内特定的效应异质性：通过整合方程（2）中x和z的个体斜率，方程（10）中误差项的被转移到FE模型的固定部分。显而易见，当应用于高维度的情况时，这种技术在计算上具有挑战性。此外，它对自由度的要求比双重去均值化更高，因为每组有两个额外的参数是固定的。在FEIS中，时间恒定的变量不能再被确定为具有单独斜率的变量的调节变量，而使用dd-IE则可以。此外，与双重去均值化不同，FEIS解决方案在T=3的情况下不起作用：除非水平的异质性不被固定，并且基本上指定了OLS-IS，否则，对两个交互变量都有斜率的FEIS会从交互估计中省略所有少于四个测量值的单位。鉴于这些特性，dd-IE似乎是估计组内交互作用的更有效的策略，特别是在组的数量多而每个组观测值少的情况下，这在纵向微观数据中很典型。然而，通过FEIS完全消除了FE误差项中的效应异质性，同时也带来了推论的好处。这些可能超过了dd-IE比FEIS在交互作用估计方面的优势，特别是在T的值很大的情况下。在一个模型中结合dd-IE和FEIS是一个实用的解决方案，适用于带有额外时间效应的固定效应模型，或者更普遍地适用于双程FE模型。本文在引言部分介绍了一些发表在社会科学顶刊的文章（Abendroth et al. 2014; Killewald and Gough 2013; Ku¨hhirt 2012; Oesch and Lipps 2013; Schofer and Longhofer 2011; Schunck 2013）为了研究FE相互作用的理解的实际意义，本文复刻了四项研究。
Schunck（2013）的研究是以教学为目的，使用训练数据，并估计母亲的年龄对婴儿出生体重的影响如何被吸烟所调节。FE-IE（3.97）与dd-IE（-79.98）有实质性的区别，但在统计上没有区别。对于后者，由于数据结构的原因，SE大大增加。在3,978位母亲的总体样本中，只有648位提供了两个以上的观察结果。在这些人中，只有不到10%的人显示了吸烟方面的变化。因此，只有54位母亲被用来确定dd-IE。
Oesch和Lipps（2013）的研究测试了个人失业如何影响环境失业对生活满意度的影响。虽然在dd-IE模型中控制了未观察到的时间恒定特征（如移情、控制位置）对环境失业影响的影响，但在作者使用的标准FE模型中没有控制这些特征。事实上，对于男性来说，FE-IE（0.0006）与dd-IE（-0.030）差别很大。只使用组内变化，个人失业不再被估计为减轻，而是突出了环境失业对生活满意度的负面影响。对于女性来说，个人失业加剧了环境失业对生活满意度的负面影响（FE-IE：-0.017），使用dd-IE（-0.006），这一结论不再具有统计学意义。尽管样本中的大多数人都提供了两个以上的测量结果，但由于双重去均值化而导致的精度下降是相当大的。SEs比FE-IE高近4倍，可能是由于环境失业率随时间变化的个体差异较小的缘故。Ku¨hhirt（2012）的分析关注的是收入对孩子数量对男人每天照顾孩子的时间的效用的冲击。拥有额外子女和对数收入之间的标准FE系数明显为负（-0.43***），而dd-IE则明显较大，接近于零（-0.02）。当只用组内变化来估计交互作用时，家庭收入减少了额外孩子对男性参与育儿的影响的结论不再得到支持。SEs并没有因为双重去均值化而有实质性的增加。我们认为这是由于在对数收入和孩子的数量中，组内变化比例很高。Killewald和Gough（2013）的研究探讨了婚姻状况是否会影响父母的工资溢价。对于男性来说，作者报告的标准FEs估计提供了婚姻和拥有一个以上的孩子与对数工资之间的正向互动（0.082**）。这被解释为婚姻增加了父亲的工资溢价的证据。然而，FE-IE使用的是一直已婚的男性和未婚男性之间的亲子关系效应的差异。因此，它很容易包括与婚姻相关的时间恒定特征（如情感稳定性）对父母身份的调节作用。相比之下，dd-IE关注的是婚姻状况不断变化的男性群体，比较他们在结婚期间和未结婚期间的育儿效果。使用dd-IE，交互作用的符号转换，变得不显著（-0.032）。由于使用了概率加权的数据和稳健的SE，在Stata中无法对这一差异进行Hausman检验。然而，dd-IE削弱了与婚姻有关的父亲工资溢价增加的证据。它也为妇女的专业化假设提供了更有力的支持。虽然女性的FE-IE接近于零（-0.016），但dd-IE产生了婚姻状况和母性（2个以上孩子）对数工资之间的显著的负交互作用（0.057），表明通过婚姻增加了母性的工资惩罚。所有的重复研究都显示了FE-IE和dd-IE之间的差异。对于两个模型（3和4），Hausman检验表明有统计学意义的差异；对于一个模型（1），没有发现任何系统性差异；对于三个模型（2、5和6），无法应用。然而，对于这三个模型中的一个（5），交互作用的估计值从显著的正数转换为负数。因此，在六个被复制的FE-IEs中，至少有三个可能包括被遗漏的相关时间常数变量的调节作用。如果使用一个具有作者所期望的统计特性的估计方法，在这些情况下结论会有所不同。同时，用dd-IE得到的所有SE都比用FE-IE高。增长幅度在1.3（复制模型6）和25.3（复制模型1）之间，这取决于数据的纵向结构和互动变量的单位内变化程度。（1） FE-IE及其统计学特性：利用了组间差异；在未观测的变量与模型中变量有关时，估计是有偏的。（2） FE-IE的代数性质，以及它的估计为什么在某些情况下是有偏的。（3） dd-IE的定义，实现过程以及统计学性质。（4） dd-IE和FE-IE该如何选择？无偏 vs. 有效。（5） DGP，并对模型进行模拟，在模拟结果中观测模型的统计学特征。（6） FEIS的统计学特征以及在不同情况下同dd-IE比较的优劣。除此之外，二次变量可以被看作是交互作用的一个特例。因此，本文介绍的机制也适用于平方变量的FE估计。在FE框架中对二次项的乘积进行减值，将得到一个包括该变量的单位特定的调节影响的系数，如公式（8）所示；它将使用x的组内特定差异来估计其与y的非线性关系。
关于固定效应，参考：1.公司和个体固定效应总是更好吗? 关于固定效应使用和解释的最全指南！2.使用固定效应FE时良好做法对应的检查清单，3.双向固定效应多期DID最新进展和代码汇总, 关于控制变量和固定效应选取的讨论，4.Top: 终身制教授是更好的老师吗? 基于分组回归, 控制固定效应的方法实证，5.快速估计带有高维固定效应的泊松模型, 这计算速度真快, 真实用！6.不能直接控制某个固定效应时, 我们能尽量做些什么呢？7.截面DID, 各种固定效应, 安慰剂检验, 置换检验, 其他外部冲击的处理，8.时间固定效应和时间趋势项的区别, 可以同时加？9.省份/行业固定效应与年份固定效应的交乘项固定效应，10.面板交互固定效应是什么, 白聚山教授推动了最前沿的研究，11.面板数据里处理多重高维固定效应的神器, 还可用工具变量处理内生性，12.双重固定效应因果推断经典文献，新农保对所有农民都好吗？13.一定要控制时间固定效应吗？14.在Stata中如何做2SLS, DID, DEA, SFA, 面板PSM, 二值选择, 固定效应和时间序列？15.公司和个体固定效应总是更好吗? 关于固定效应使用和解释的最全指南！16.使用固定效应FE时良好做法对应的检查清单，17.双向固定效应多期DID最新进展和代码汇总, 关于控制变量和固定效应选取的讨论，18.多期DID中使用双向固定效应可能有问题! 又如何做平行趋势检验? 多期DID方法的最新进展如何? 19.快速估计带有高维固定效应的泊松模型, 这计算速度真快, 真实用！
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