教学研讨｜10.2 事件的相互独立性（2019版新教材）

请关注阳光备课 2023-02-05

教学研讨所选素材大多来自国家教育资源公共服务平台、人教网等权威媒体，由网友推荐，阳光备课整合，仅供各位老师学习和研究，各部分版权归原作者所有。

▍来源：网络

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1.内容

两个事件独立的直观意义、定义及其在古典概型的概率计算中的应用.

2.内容解析

独立性是概率论的基本概念，与计算积事件的概率有关，可以简化计算，在选择性必修的独立性检验中，利用事件的独立性假定构造检验统计量，独立性的直观意义是“在随机试验中，事件A(或B)发生与否不影响事件B(或A)发生的概率”，本质是P(AB)=P(A)P(B).教科书先通过实例呈现独立性的直观意义，在此基础上分析计算P(AB)与P(A),P(B)的关系，再抽象出两个事件相互独立的定义.

互斥事件与相互独立的事件的内涵是不同的，事件A与B互斥是指事件A与B不能在任一随机试验中同时发生，其实质为AB=O,P(AB)=0.因此，当事件A和B的概率都大于0时，如果事件A和B互斥，则A和B一定不相互独立；反之，如果事件A和B相互独立，则A和B一定不互斥，不可能事件和必然事件口是互斥事件，同时它们也是相互独立的事件，并且不可能事件0、必然事件口与任何事件A是相互独立的.

综上所述，确定本节课的教学重点：了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关概率计算问题.

二、目标和目标解析

1.目标

(1)结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义

(2)结合古典概型，利用事件的独立性计算概率.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

(1)在“有放回”与“无放回”的情形下，能利用直观意义或定义判断事件的独立性.

(2)能利用独立性定义及其性质计算古典概型中积事件的概率或一些复杂事件的概率

三、教学问题诊断分析

对两个事件的包含、相等、互斥、互相对立意义的描述，均不涉及事件的概率.而两个事件的相互独立性，需要借助事件的概率来刻画.

大多数学生一般倾向于认为连续发生的事件总是有联系的，不仅如此，他们在决策时通常会受到之前发生的事件的结果的影响，例如，对于问题“连续抛挪一枚均匀的硬币，如果前4次的结果都是'反面朝上',那么第5次最可能的结果是什么？”一些学生会回答“最有可能是正面”(或者回答“最有可能是反面”）.学生的决策可能受到“代表性启发式”（当应用这种策略解决不确定情境的问题时，倾向于预测那些最能体现证据代表性的结果）错误概念的影响，这种错误概念会导致忽视事件之间的独立性.教学中，在给出独立性的数学形式定义之前，教师应首先选择符合独立性直观意义的例子，促进学生直观地认识，并结合实例使学生进一步明晰随机试验的意义.

学生的另一个错误的认知是，相互独立的事件不能同时发生，这导致他们经常把独立事件与互斥事件混淆。事件的独立性与互斥性是两对不同属性的概念，事件A与B相互独立是从概率的角度来下的定义，其本质是P(AB)=P(A)P(B),强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率大小没有影响，而事件A与B互斥是从事件运算的角度来下的定义，其内涵是AB=,强调的是两个事件不能在任一随机试验中同时发生.

综上，本节课的教学难点是在实际问题情境中判断事件的独立性，教学中应提供不同背景的随机试验，让学生经历用直观与定义两种方式判断给定的两个事件是否独立，促进学生对独立性的理解.

四、教学问题分析

本节主要内容是事件独立性的直观认识、两个事件独立性的定义、利用独立性简化概率的计算，两个事件的独立性是事件之间的一种特殊的关系，直观意义是两个事件发生与否互相不受影响，本质上是两个事件积的概率等于这两个事件概率的积由于还没有条件概率的概念，教科书从事件的关系和运算的角度研究概率的基本性质出发，结合问题“两个事件的积的概率与这两个事件的概率有什么关系”，通过具体例子引入事件的独立性的概念，这也是符合知识发展的逻辑性的.

1.两个事件独立的直观意义及定义

事件的相互独立是事件之间一种重要的关系，但是它不同于事件的包含、相等、互斥和互相对立关系，事件的独立性需要用概率来定义.由于条件概率的概念将在选择性必修课程中研究，所以不能从条件概率的角度引入独立性.

本节结合具体的随机试验（古典概型）,根据实际问题背景，先直观判断两个事件是否独立，即如果事件A和事件B的发生互相不受影响，那么事件A和B是相互独立的，否则不独立。然后计算P(A),P(B)和P(AB),发现共性P(AB)=P(A)P(B),进而给出两个事件相互独立的一般定义.另外，在解决实际问题时，我们通常是直观判断事件的独立性，然后利用P(AB)=P(A)P(B)来求积事件AB的概率.

2.三个事件A,B,C相互独立的含义

《标准（2017年版）》对多个事件的独立性没有要求，但在后续的二项分布的研究中要用到，故在此作一简单介绍，供教师参考.

由两个事件相互独立的定义，自然想到有两种方式定义三个事件相互独立。

方式一：对任意的三个事件A,B,C,如果

P(ABC)=P(A)P(B)P(C) ①

成立，则称事件A,B,C相互独立

方式二：如果事件A,B,C两两独立，则三个事件A,B,C相互独立.

从直观意义看，如果三个事件A,B,C相互独立，它们应该两两独立，即有

我们可以举出②式成立但①式不成立的反例，也可以举出①式成立但②式不成立的反例，这说明这两种定义的方式都不合理.

实际上，将方式一和方式二相结合，可以得到三个事件相互独立的定义：对任意的三个事件A,B,C,如果①式和②式同时成立，则称事件A,B,C相互独立.

显然，如果事件A,B,C相互独立，则A,B,C两两独立，并且以下7组事件都是相互独立的：

对于n(n>3)个事件的独立性定义及性质，可以由3个事件的独立性直接推广得到。

3.例题的设计意图

例2的设计意图是利用事件独立的性质，计算较复杂事件的概率.

在这里，甲是否中靶与乙是否中靶相互不受影响，因此可以直观判断事件A和B相互独立.解题的关键（也是难点）是用事件A,B,A,B来表示相关事件，可以借助树状图完成这个任务.如下图,

树状图有四个分支，第一支表示甲和乙都中靶，第二支表示甲中靶且乙脱靶，第三支表示甲脱靶且乙中靶，第四支表示甲和乙都脱靶.

由此得到，“两个人都中靶”=AB,

，

例3的设计意图是利用事件的独立性计算两个事件的积事件的概率。但由于问题比较复杂，解题时可以借助表格，条理清晰地进行表述.下面的拓展供教师参考.

案例3将例3的结果拓展为求“星队”猜对成语个数的分布列

首先，设A,表示事件“甲在两轮中猜对i个成语”；B,表示事件“乙在两轮中猜对之个成语”（i=0,1,2).由两轮猜的结果的独立性，容易求得事件A。，A₁_，,A₂的概率。

同理可得B。，B₁,，B₂的概率分别为

设甲、乙猜对成语的个数之和为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4,由于甲和乙猜的结果也是相互独立的，即A,和B;独立（i,j=0,1,2),所以P(A_i,B_j)=P(A_i)P(B_j).计算结果如下表所示（先不进行约分）.

4.本节的教学建议

(1)应提供不同背景的随机试验，让学生直观判断给定的两个事件是否独立，对于古典概型，还可以进行计算验证.这样既突出了重点，又能有效克服难点.

例如，抛挪两枚散子，A=“第一枚般子出现偶数点”，B=“第二枚骨子出现奇数点”，那么A和B相互独立.又如，摸球两次，事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，如果是有放回摸球，那么事件A与事件B相互独立，如果采用不放回摸球，那么事件A与事件B不独立（例1).再如，设事件A=“甲地明天有雨”，B=“乙地明天有雨”，如果甲、乙两地相距遥远，则可以认为事件A与事件B是相互独立的，如果甲、乙两地相距很近，则可以认为事件A与事件B是不独立的.

(2)结合例2和例3的教学，利用树状图或二维表，进一步强化用图表等表示复杂事件的方法。

五、教学重点、难点

重点：了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关概率计算问题.

难点：在实际问题情境中判断事件的独立性.

六、数学学科素养

在教学中应重视数学思想的提炼和渗透，把提升学生的数学学科核心素养落到实处。

数学抽象：对随机试验，用符号（字母、数字或数对）表示试验的可能结果，抽象出样本点、样本空间，由事件发生的意义抽象出“随机事件”是样本空间的子集；建立概率模型；从两个事件的发生互相不影响，抽象事件的独立性等，都是数学抽象的体现.

逻辑推理：本章中运用了类比、归纳等思想.例如，类比函数的研究，确定概率的研究路径，发现概率的性质；类比集合的关系和运算理解事件关系与运算的含义；对概率基本性质的研究采用由特殊到一般的归纳的方式；等.

数学建模：对古典概型的教学，重点应放在通过解决实际问题，了解构建概率模型的一般方法，理解事件概率的意义，渗透模型化思想，不要把重点放在计数上.

七、教学过程：见《研讨素材二》

引言：前面我们研究过互斤事件、对立事件的概率性质，本节课，我们来讨论与积事件的概率计算有关的问题.

(一）事件的独立性

问题1:下列两个随机试验各定义了两个随机事件A和B:

(1)试验1:分别抛挪两枚质地均匀的硬币，事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”.

(2)试验2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他不同.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设事件A=“第一次摸到球的标号小于3”，事件B=“第二次摸到球的标号小于3”.

你觉得事件A发生会影响事件B发生的概率吗？如果事件A不发生，会影响事件B发生的概率吗？

师生活动：教师提出问题，学生进行思考后回答问题.教师关注学生如何解释自己的思考过程.

设计意图：选择两个符合独立性直观意义的试验，促进学生感悟事件的独立性.

问题2:上面两个随机试验中，事件A发生与否都不会影响事件B发生的概率，其数学本质是什么？分别计算两个试验的P(A),P(B),P(AB),你有什么发现？

师生活动：学生独立思考解决问题.教师注意观察学生如何计算P(A),P(B),P(AB),关注学生是否能用集合语言正确描述样本空间以及不同的随机事件，并给予个别指导，选择学生代表表达与交流思维过程.

教师小结：这两个随机试验都满足：事件A和B同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积.对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括，我们引入这种事件关系的一般定义：对任意两个事件A和B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

设计意图：让学生探索两个试验中事件A,B之间关系的共同数学本质属性 P(AB)=P(A)·P(B),在此基础上，教师给出两个事件相互独立的数学定义.

追问（1):问题1的两个随机试验中的随机事件A和B是否都相互独立？

师生活动：先让学生基于问题2中的师生活动，利用两个事件相互独立的定义下判断

追问（2):考虑两个特殊的随机事件与任意一个随机事件是否相互独立，即必然事件与任意一个随机事件是否相互独立？不可能事件与任意一个随机事件是否相互独立？为什么？请给出你的推理过程.

师生活动：学生对“任意一个随机事件”的思考可能有困难，教师结合适当的例子来帮助学生推理与解释.

设计意图：根据定义判断事件的相互独立性，进一步讨论特殊事件与任意一个随机事件之间的相互独立性，以使知识完整化、系统化。

问题3:互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系，如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以问题1(2)的有放回摸球试验为例，分别验证事件A与,事件与B,事件与是否独立？你有什么发现？请给出你的推理过程.

师生活动：可以分组解决不同的问题，先独立思考，再合作交流，教师应关注学生如何解释他们的判断，如何推理

教师小结：由事件的独立性定义可以证明事件A与相互独立，事件与B,事件与也都相互独立.这是事件的独立性的一个性质.

设计意图：类比事件A与事件B相互独立的问题，得出与事件A,B相互独立彼此等价的三条性质.这里提出新的问题，既是知识的自然延伸，又体现了一种提出问题、发现问题的思考方式.

(二）利用事件的独立性计算概率

例1 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：

(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶；

(4)至少有一人中靶.

师生活动：先分析随机试验，用集合语言表示随机事件，由于涉及较多的符号推理与运算，应给予学生充分的时间独立研究，并鼓励学生表达交流运算与推理的过程.

设计意图：利用事件独立的性质，计算较复杂事件的概率

例2 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为3/4，乙每轮猜对的概率为2/3，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求两轮活动“星队”猜对3个成语的概率.

师生活动：教师指导学生分析问题.由于问题比较复杂，解题时可以借助于表格，使得表述的条理更加清晰.

设计意图：让学生综合利用事件的互斥关系的性质与事件的独立性计算两个事件积的概率，同时培养学生良好的思考习惯.

(三）课堂小结

教师引导学生回顾本节课学习的内容，并回答下列问题：

通过本节课的学习，你能说一说，事件A与事件B相互独立的含义是什么？如何判断事件A与B是相互独立的？如何判断事件A与B是互斥的？你能说一说二者的区别吗？

师生活动：在学生独立思考的基础上，教师根据学生的回答，进一步引导学生体会事件相互独立的含义.引导学生把握概念本质，区分“两个事件相互独立”与“两个事件互斥”教师小结：事件的相互独立是事件之间一种重要的关系，但是它不同于事件的包含、相互斥和互相对立关系——事件的独立性需要用概率来定义，而互斥的两个事件A与B是指事件A与B不能同时发生，其实质为AB=ϕ.

设计意图：一方面引导学生反思本节课的重点——概括判断事件A与B相互独立的方法，另一方面为了促进学生对容易混淆的事件的互斥与独立性概念进行比较、澄清。

(四）布置作业

教科书第249页练习第1,2,3题.

五、目标检测设计

1.抛挪两枚质地均匀的硬币，若事件A=(既出现正面，又出现反面）,事件B=(最多出现一次正面）,讨论事件A与B的独立性.

设计意图：考查在熟悉的情境下，学生能否正确判断事件的独立性.

2.从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，事件A表示抽到“梅花”，事件B表示抽到“Q”.事件A和事件B是否独立？

设计意图：考查在熟悉的生活情境下，学生能否正确判断事件的独立性.

3.遗传学知识告诉我们，当一个家庭中父亲的血型为O型，母亲的血型为AB型时，孩子的血型可能为A型或B型，且概率相等.设事件S为“孩子的血型中既有A型，又有B型”，事件T为“孩子的血型中最多只有一个A型”，当该家庭中有两个孩子时，判断事件S与事件T是否相互独立？

设计意图：考查在科学情境下，学生能否正确判断事件的独立性。

研讨素材二

【请点击图片放大，左右滑动阅读】