北师大版七下册数学4.3《用图象表示的变量间关系》知识点精讲
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一.基本概念
1.在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
如：C=2пr中的r与C，可以取不同的数值，是变化的，所以r、C就是变量。
2.在某一变化当中，如果有两个变量x和y，当其中一个变量x在一定内取一个数值，另一个变量y也有唯一一个数值与其对应，（简单说变量y随另一个变量x的变化而变化），则把x叫做自变量，y叫做因变量。（即自变量是先发生变化或主动发生变化的量，而因变量是随着自变量的变化而变化的量。）
如：C=2пr中的r与C，r=1，C=2п；r=2，C=4п…，r取不同数值时，C跟着发生变化，而且当r取某个数值时，C对应变化的值是唯一的，所以r就是自变量，C就是因变量。
3.常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.
如：C=2пr中的“2”和“п”，在r与C的变化过程中始终保持不变，所以，“2”和“п”就是常量。
二、变量间关系的表示方法：
〈一〉列表法。
采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
例1：某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方法设置：
（1）按照上表所示的规律，第6排的座位数为______；
（2）写出座位数y与排数x之间的关系式为_____；
（3）按照上表的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由。
思路分析：
题中有两个变量：排数、座位数，用表格的形式来描述两个变量间的关系，这就是列表法。依规律探究题型的解题方法和技巧（①把数字转化成算式；②寻找算式中的数字与序号间的关系规律）即可解答：
解题过程：
(1)第1排的座位数：50个；
第2排的座位数：（50+3×1）个；
第3排的座位数：（50+3×2）个；
第4排的座位数：（50+3×3）个；
∴第6排的座位数：50+3×5=65（个）；
(2)由（1）中规律可得：座位数y与排数x之间的关系式为：y=50+3×(x-1)=3x+47.
（3）某一排是否有90个座位，即y是否可以等于90，假设代入解方程即可，当y=90时，即3x+47=90，解得x不是整数，故某一排不可能有90个座位。
〈二〉关系式法。
1.关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。
2.用关系式法表示两个变量间的关系的解题关键------先找准两个变量间的数量关系等式
例2.小明现有存款200元，为赞助“希望工程”，她计划今年每月存款10元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式是_____
解析：
用关系式法表示两个变量间的函数关系，最重要的是能找出两个变量之间的等量关系式，如此题，两个变量：“存款总金额”、“时间”之间的关系是：存款总金额=原有存款数+每月存款数×时间，依这个等量关系式，即可找出y与x之间的函数关系式：y=200+10x.
点评：
在三种表示表示两个变量间的关系中，关系式法是最重要的方法，初中函数关系内容都是建立在它的基础之上，但它的解题方法却是单一的，紧盯变量间的等量关系式，是解决初中函数关系的唯一解题方法。
〈三〉图象法。
1.用图像法表示两个变量间的关系的解题关键-----①明确横纵轴表示的量；②读懂图中的信息,特别是拐点所表示的意义。
例3.如图表示一位骑自行车者离家的距离与时间的关系图象，骑车者9时离开家，15时回家，根据这个图像，回答下面问题：
（1）图中反映了（ ）两个变量之间的关系,（ ）是自变量,（ ）是因变量.
（2）到达离家最远的地方是什么时间？答:________________
（3）何时开始第一次休息？休息多长时间？答__________________、_____________
（4）第一次休息时，离家多远？答:________________
（5）11：00到12：00他骑了多少千米？答:________________
（6）他在9：00—10：00和10：00—10：30的平均速度各是多少？答__________________、_____________
（7）他在何时至何时停止前进并休息用餐？答:________________
（8）他停止前进后返回，骑了多少千米？答:________________
（9）返回时的平均速度是多少？答:________________
解析：
（1）图中反映了出发时间、离家距离两个变量之间的关系,时间是自变量,距离是因变量.
（2）由线段EF可知，到达离家最远的地方是12—13时；
（3）休息时离家距离没发生变化，在图上表现为平行于横轴的线段，即线段CD描述第一次休息的情景，故10：30时开始第一次休息？休息了30分钟；
（4）第一次休息时即在线段CD上，离家17千米；
（5）找到11：00到12：00这条线段所对应的纵轴数据，即可得出：在这段时间内他骑了30-17=13千米；
（6）他在9：00—10：00行驶的时间为1小时，路程由0到10千米，故速度为10÷1=10千米/小时；
他在10：00—10：30行驶的时间为0.5小时，路程由10到17千米，故速度为17÷0.5=34千米/小时；
（7）平行于横纵的线段表示他在休息，休息用餐休息应是线段EF，即时间为12时---13时；
（8）他停止前进后返回，即线段FG，从30千米直到家，所以骑了30千米.
点评：
用图像法表示两个变量间的关系，重点在图像，能否从图像上阅读出它隐藏的信息，是解决这类题的关键所在，所以需要一定的数学理解能力，拓展开来，这类题的难度要远大于前两类题型。
导学案
§4．3 用图象表示的变量间关系
学习目标：1、经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系。
2、结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
3、能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。
学习重点：结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
并能从图象中获取变量之间关系的信息，
学习难点：能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。
一、预习
（一）、预习书：P103~P105
（二）、思考：用图像表示变量之间的关系时，水平方向的数轴（横轴）上的点表示什么？，竖直方向的数轴上的点表示什么？
（三）、预习作业：
1、如图，是某地某年月平均气温随时间变化的图像．请回答下列问题：
（1）二月份平均气温是______C ，十月份平均气温______C；
（2）这一年中，月平均气温最高的是______月，温度大约是______C；
（3）月平均最高气温与最低气温大约相差______C
（4）月平均最高气温为10C的月份是______月，它可能是______季节；
（5）上述变化中，自变量是______，因变量是______；
（6）估计明年一月份的平均气温会低于0C吗？
二、学习过程：
（一）要点引导
1、图像是表示________之间关系的一种方法，它的特点是更________、更________地反映了因变量随自变量变化的情况．
2、用图像表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示________，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示________
（二）例题
例1、某山区今年６月中旬的天气情况是：前５天小雨，后５天暴雨，那么反映该地区某河流水位变化的图像大致是（）
A B C
D
变式1、为节约用水，利民学校冲厕水箱经改造后，当水箱水满后就按一定的速度放掉水箱的一半水，随后立即按一定的速度注水，等水箱的水满后，又立即按一定的速度放掉水箱一
般的水，下面的图像可以刻画水箱的存水量v（立方米）与放水或注水时间t（分钟）之间的关系的是（）
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