北师大版七上数学2.1《有理数》知识点精讲

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知识点总结

有理数的概念

定义：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

概况：有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

有理数的计算法则

1）、有理数加法法则

1.同号两数相加，把绝对值相加，所得值符号不变。

如-1+(-1)=-|1+1|=-2 、 1.1+1.1=2.2

2.异号两数相加，若绝对值不等，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0。

如-1+2=+|2-1|=1 

2+(-3)=-|3-2|=-1 

-3.2+3.2=0

3.一个数同0相加，仍得这个数。3.14+0=3.14

注意：
一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。

从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记“先符号,后绝对值”，熟练以后就不会出错了。

多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

2）、有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数。

两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数做加数。

一不变：被减数不变。

可以表示成：a－b=a+（－b）。

3）、有理数乘法法则

1.两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。

2.任何数同0相乘，都得0。

3.乘积为1的两个有理数互为倒数。

4.几个不是0的数相乘，负因数得个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

5.几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。

4）、有理数除法则

1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。

注意：
0不能做除数。

5）混合运算

有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算。

有理数的分类

（1）按有理数的定义：

                              正整数 
                 整数{     零 
                              负整数
有理数{     
                            正分数 
                分数{
                            负分数
 
（2）按有理数的性质分类: 

                           正整数  
               正数{ 
                           正分数
有理数{  零
                           负整数 
               负数{
                           负分数

有理数的练习

1.下列命题中不正确的是（     ）

A. 整数和有限小数统称为有理数 
B. 无理数都是无限小数 
C. 数轴上的点表示的数都是实数 
D. 实数包括正实数，负实数和零

2.下列说法中正确的是（     ）

A．正数和负数互为相反数  
B．0是最小的整数  
C．在数轴上表示+4的点与表示﹣3的点之间相距1个单位长度  
D．所有有理数都可以用数轴上的点表示

3.下列说法：
①0 是绝对值最小的有理数；
②相反数大于自身的数是负数；
③数轴上原点两侧的数互为相反数；
④两个数相互比较绝对值大的反而小．
其中正确的是（     ）

A．①②
B．①③
C．①②③
D．②③④

4.下列说法正确的是（     ）

A．有理数都是有限小数
B．无理数都是无限小数 
C．带根号的数都是无理数
D．数轴上任何一点都表示有理数

5.下列说法中，正确的是（     ）

A．有理数分为正有理数和负有理数 
B．在数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边 
C．任何有理数的绝对值都是正数 
D．互为相反数的两个数的绝对值相等

6.下列说法正确的是（     ）

A．有理数分为正数和负数
B．是所有的有理数都能用数轴上的点表示
C．若数轴上的点A在点B的右边，则点A比表示的数比点B表示的数小
D．有理数中，没有最大的有理数，也没有最小的有理数

7.下列说法正确的有（     ）

①最大的负整数是﹣1；
②数轴上表示数2和﹣2的点到原点的距离相等；
③有理数分为正有理数和负有理数；
④a+5一定比a大；
⑤在数轴上7与9之间的有理数是8．

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

8.根据以下各数：+2，-（+4），，|-3.5|，0，-3，回答问题。

（1）上面各数中，正分数有：______，负整数有：________，整数有：_______。
（2）在数轴上表示上面各数，再用“<”号把各数连接起来。

答案：A   D   A   B   D   D   B

解：

（1）正分数有：；负整数有：-（+4），-3；整数有：+2，-（+4），0，-3；
（2）解：数轴如下： 

-（+4）<-3<0<+2<<|-3.5|。

概念归纳

正数 小学学过整数、分数(小数)的知识，即正有理数及0的知识，还学过用字母表示数。将小学中的算术数扩充到有理数 ①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.

②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).

③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).

④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.

⑤能运用有理数的运算解决简单的问题.

⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.

⑦了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).

负数 利用具有相反意义的量引入负数

有理数

数轴 为学习平面直角坐标系做准备;数形结合的初步认识及应用 通过描述位置的问题引出，并让学生通过温度计加深对数轴的认识，进而具体讲述

绝对值 借助数轴

相反数 借助数轴。分别利用几何意义和代数意义让学生理解

倒数 乘积为1的两个数 把倒数的范围扩充到有理数范围内 小学知识迁移

有理数加法法则 将两个数合并为一个数的运算 初中阶段运算的基础 首先通过实例明确有理数加法的意义;引入有理数加法的法则，接着举例说明小学阶段学过的加法运算律对有理数加法同样适用。在此基础上，从有理数减法的意义得出有理数减法法则。进一步根据减法法则，可以把加减法运算统一成加法。

有理数减法法则

有理数乘法法则 借助数轴研究有理数的乘法，引入有理数乘法的法则并通过例子说明，如何利用法则进行计算。然后从具体运算的例子出发，指出乘法的运算律对有理数同样适用。在乘法之后，从有理数除法的意义出发，结合具体例子引入有理数除法的法则，并通过例子说明如何利用法则进行计算。

有理数除法法则

乘方 在小学阶段接触过平方、立方 幂的运算的基础 幂函数的基础 结合计算正方形面积、正方体体积的实例引出乘方的概念

有理数混合运算 小学四则混合运算的顺序是基础 有理数的运算是数学中其他运算的基础，初中有理数运算在前两个学段的基础上增加了乘方的运算。也是后面有关整式运算的基础。在复习小学阶段数的四则运算顺序的基础上，结合新学习的乘方，按照先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序进行。

科学计数法 为较大数字和较小的数据的表示提供了一种更科学的方法

图文导学

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