一位数学老师的新教育故事——数学为什么可爱？

［过一种幸福完整的教育生活］

［新教育故事汇］

       为了一切的人，为了人的一切；让师生与人类崇高精神对话；无限相信每个师生的生命潜力；交给学生一生有用的东西；重视精神状态，倡导成功体验；强调个性发展，注重特色教育；行动就有收获；坚持才有奇迹；共读共写共同生活；发现知识的伟大魅力，实现知识、生活与生命的深刻共鸣；过一种幸福完整的教育生活。——《新教育的核心理念是什么？》

       文章摘要——

       这么多年来，用同事们的话形容我就是“一直折腾着”，其实，我就是个爱折腾的人，我常用朱先生的一句话自勉：“一个理想的教师，他应该是一个天生不安分、会做梦的教师。”我就想成为先生所指的那个会做梦的老师。

       感谢新教育，让我在最美的年纪遇见你，你是我今生最美的邂逅，愿一生追随！

感谢让我在最美的年纪遇见你

——把新教育的元素融入数学课堂 

作者｜石建华

我是一名初中数学老师，也是新教育的忠实追随者，新教育倡导“师生共写随笔”、“培养卓越口才”等行动，我一直在用心地学习着，同时也一直在积极地思考着如何将这些新教育的元素渗透并融入到数学课堂。目前，我正在实践将“听、说、读、写、看、画”引入数学课堂。

        1．数学讲堂的昨天·今天·明天

讲堂顾名思义就是让学生开口讲的场所，是培养学生的口才。早在十多年前，我就尝试着让学生走上讲台讲题，那应该算是数学讲堂的雏形，但那时时间不固定，讲题学生仅限于一些优生，并非所有学生的口才都能得到锻炼和培养。三年前，推出数学讲堂，旨在给每一个孩子机会，让每一个孩子的口才得到锻炼和培养。数学讲堂的时间固定在每天数学课的前五分钟，每个学生按照座位的顺序轮着上，演讲的内容只要与数学相关。这一阶段重在让学生敢讲，对于胆小的学生，只要能大声读出来就算成功。

随着学生演讲经验的积累，逐步向能讲过渡，数学讲堂也随之改版升级，一变演讲内容，二变演讲学生的确定。演讲内容不再自选，而是统一规定为前一天的学习内容，这样既锻炼学生的口才，又帮助学生温故而知新。演讲学生的确定采用抽签的方式，这就是今天的数学讲堂。对于明天的数学讲堂，我期待学生经过锻炼不仅学会表达，而且学会数学地表达。

学生每天在数学讲堂上的表现，我都会记录下来，同时也要求每一个演讲的学生写下演讲的感受，这既培养学生反思的习惯，也践行了师生共写随笔，我用随笔记录学生的成长，同时也带动自身的成长。

        2．石老师保险公司

学生升入初一，我就指导他们写数学作文，写了几次后，发现作文质量不高，有些学生直接从网上抄，我又调整为写数学日记，上网抄的问题解决了，但新问题又接踵而至，有学生的日记完全是应付差事，根本不认真反思。为此，我仿效朱先生的做法，适时推出“石老师保险公司”业务，承诺只要敢来投保，就能保证你把数学学好，保金有两样，一年的错题集和一年的数学日记，如果你能坚持认真整理一年的错题集，认真写一年的数学日记，一年后你的数学仍然没有长进，那石老师会在接下来的日子里无偿为你补习数学，直至你满意为止。学生对这项业务很感兴趣，但真敢来投保的学生并不多，认真坚持一年，说起来容易做起来难，这需要恒心和毅力，真有这样恒心和毅力的孩子怎么可能学不好数学呢？

        3．知识树的故事

为便于将所学知识系统化、结构化、可视化，我指导学生画知识树并举行知识树的颁奖和传递仪式。奖品从何而来？采取的方式是羊毛出在羊身上，知识树画得不认真的学生就是奖品的贡献者，假若所有学生的知识树都画得非常好，那奖品就全由我来提供，这极大刺激了学生画知识树的热情。颁奖仪式过后就是知识树的传递仪式，提供奖品的学生将接受知识树的传递并仿画，这让知识树画得不好的学生又额外多了一次锻炼的机会。

这么多年来，用同事们的话形容我就是“一直折腾着”，其实，我就是个爱折腾的人，我常用朱先生的一句话自勉：“一个理想的教师，他应该是一个天生不安分、会做梦的教师。”我就想成为先生所指的那个会做梦的老师。

感谢新教育，让我在最美的年纪遇见你，你是我今生最美的邂逅，愿一生追随！

    （文章转自石建华老师的个人微信，向石老师致谢！）

数学为什么可爱

作者｜王蒙

        数字魔方

福建有一个文学评论家叫林兴宅，以前他提出过一个观点，说“最好的诗是数学”。此话一出，全国哗然。我当时并没有很多道理可说，但是我非常喜欢这句话。古今中外都不止一个有名的文学方面的人才自嘲说：我之所以写小说写诗，因为我从小数学不及格。例如，汪曾祺先生就有过这样的名言。但是我跟这种类型的写作人有相当大的区别，我从小就着迷于数学和语文，我为什么着迷这两样呢？因为我始终感到只有在数学和诗学里面，人的精神才能够进入一个比较纯粹的境界，才能把对世界的认知符号化、纯粹化，提升之、激扬之。比如，你就是用数学的一些概念，如数字、数量关系，或者形体、形状，相似、相等、不等、互证……用这些东西来认识数学，认识世界。而且只有在这个很特殊的精神世界里头，你能感觉到这种智慧的光芒，感觉到人类的智慧中有多少奇妙的激情与创造发现！不管你有多少不顺心的事儿，多少琐碎的事情，多少鸡毛蒜皮的事情，多少小鼻子小眼、抠抠搜搜的事，可是你进入这个境界以后—那些委琐的东西没有“入门证”，根本进不来—你只剩下了妙悟，飞升，热泪盈眶；同时你只剩下了智慧，只剩下了推理，只剩下了激情，还有想象，最纯粹的想象。

我想做诗的感觉和解一道数学题的感觉是非常相似的，这种感觉就是黑暗中的寻索与光明照耀的狂喜。我上初中的时候，就迷恋这个。后来长大一点，觉得各种数字和形状都是充满了感情的，譬如说，当我们说“一”的时候—中国人最喜欢这“一”：一以贯之，“吾道一以贯之”，见出这个人的坚决，多么鲜明，又多么忠诚；又如“天下定于一”，所以叫“定一”的人特别多，如陆定一、符定一等。有了“一”就有了一切，“道生一，一生二，二生三，三生万物”。后来就觉得许许多多的数学现象，其实都是人生现象，它反映的是人生最根本的道理。

譬如说，我最喜欢举的例子是我在北戴河看到一个捉弄人的、带赌博性质的游戏：主事者用四种不同颜色的球，红、黄、蓝、白每样五个，总共二十个一起放在箱子里，参与者从里面任意摸出十个球，如果四种颜色的组合是五五零零，就得到一个莱卡照相机；如果是五四一零，送你一条中华烟；但是，有两个组合是你反过来要给他钱的：一个是三三二二，一个是四三二一。结果玩游戏的人到那儿一抓，经常是抓出来三三二二和四三二一。这是个非常容易计算的问题。西安电子科技大学梁昌洪校长是数学家，他把整个的算草都给了我，他还在学校里组织了几百个学生测试，又在电脑里头算，结果都一样，就是三三二二和四三二一所占的比率最高，都能占到接近百分之三十，而五五零零呢，它只是十几万分之一。为这事我还出了硬伤，我说这五五零零的概率和民航飞机出事故的概率一样多。结果民航局的朋友向我提出了严正抗议，说民航局从来没出过这么多事故，他们不是十万分之一，可能是千万或者更多万分之一。这也让我长了很多的知识。

这几个数字，一个是三三二二，一个是四三二一，迷住了我，我觉着这就是命运。什么叫命运？“三三二二”或者是“四三二一”就是命运。为什么五五零零的机会非常少，就是命运绝对拉开了的事并不常见，一面是绝对的富有，因为五是全部，某一种颜色的球全部拿出来才是五，相反则是零，这个机会非常少，十几万个人中就一个，它赶上了五五零零，我们也是爱莫能助了。

所以说命运的特点在于：第一，它不是绝对的不公平；第二，它又绝对不是平均的。例如四三二一，哪一个和哪一个数都不一样，却又相互紧靠，它的概率非常之大，我觉得这个命运太伟大了，这就是上帝，至少是上帝运算的一部分。或者让你三三二二，这非常接近，但是不完全一样，或者让你四三二一，谁跟谁都差一点，但是也不可能完全一样。这就是概率和命运与上帝的关系。一次我和美国的一个研究生谈起我的作品，我忽然用我的小学五年级的英语讲这初中二年级的数学，我说这就是God。他就说：“Eh.I don’t like this.”他很不赞成，很不喜欢我这样的分析，把伟大的上帝说成是数学，但是我不是说伟大的上帝是数学，而是说数学的规律是“上帝”所掌握的，和世界的宇宙奥秘是一样的。

        数字哲学

我忽悠一下，中国人喜欢“一”，因为这整个的世界是“一”，世界是统一的。郭沫若有句诗非常有意思，“一切的一，一的一切”。现在我也没完全明白什么意思，但是中文的此种构词是太棒了。一就是一切，一切就是一，万法归一，一生万物。天下定于“一”。中国文化最讨厌的是“二”，如二心，如果皇上说你有二心，你的脑袋就保不住了。毛泽东最喜欢的是“二”：老蒋说天无二日，我偏偏再给他出一个太阳。这是毛泽东和柳亚子说的话。毛泽东也喜欢“一”，也喜欢“二”，当革命没有胜利的时候，他喜欢“二”，革命胜利了，他喜欢“一”。但是他讨厌“三”，没有第三条路线，没有中间路线，第三条路线都是假的。改革开放以后，“三”的地位有点提高。哲学家庞朴就提出来一分为三，什么意思呢？他举例说，一抓就死，一放就乱，一抓就死这是“一”，一放就乱这是“二”，但是我们追求的应该是“三”，就是抓而不死，放而不乱。就是说在“一”和“二”的斗争中他要产生出一种新的模式来，新的思维，新的生产力，新的生产关系。“一分为三”这是庞朴教授提出来的，有一定的影响，但是也没有得到普遍的响应。我个人很喜欢这个话。只要承认了“三”，就承认了不断出现新生事物，所以老子说，道生一，抽象的道变成了一个统一的宇宙。一生二，这个宇宙就变成了矛盾的两个方面。矛盾的两个方面斗争的结果他会出现新的东西，既不完全是“一”，也不完全是“二”，那么不断地出现新的东西就生了万物，所以我个人也有点喜欢这“三”。

        数学与命运

摸球的例子，大家都可以去试试，用四种扑克牌，或者用四种麻将牌都可以试，你会发现摸出来不是三三二二就是四三二一，这个机会多，这是一个形而上的东西，中国人也有这种头脑。比如说中国有一个词，说他赶上点儿了，这个“点”当然是一个几何学名词，有人倒霉，大家也说他赶上点儿了，有人突然发达起来了，噌噌直上，芝麻开花节节高，摁都摁不住了，嫉妒也没用，告状也没用，他赶上点儿了。有个词叫“气数”，就是一个朝代气数已尽，所以这是“数”啊，气数的“气”很抽象，摸不清楚，“气”可以说是他的运气，也可以说是一个人、执政集团，或者是一个朝代，或者是这个皇帝的主观的自信，或者是我们所说的那种气场，等等。但还有一条就是“数”，就是这个数字经过若干发展运动以后就变成了“气数已尽”。我这一辈子感受最深的就是国民党那时候就是气数已尽，完全没办法，谁也救不了它。当然那个时候我是非常反对它的，从个人来看，现在看国民党那些人也不都是最坏的。比如说胡适现在行市也很好，已经是被很多人所尊敬。但是根本就帮不了它，怎么弄怎么倒霉。看看三大战役，淮海战役的时候，国民党是坐着装甲车、汽车来运输，人民解放军则靠的是腿，每次到一个地方都是提前十五分钟、二十分钟，或者半天，共产党已经占领了，国民党拼了半天命，就是差这么十几分钟、二十分钟，气数已尽。说明这里面是有一个数字法则的，这个数字又和时间的运行联系到一块儿。

古代有算命的，所谓算命，基本上是类似数学活动，所以叫“算命”。生辰八字这一系列的演算，抽签也是一个数学活动，也是概率问题，就是抽着上上签的可能性有多大，抽着下下签的可能性有多大。还有一个是“相面”，相面是不是也有着几何性的观察，哪儿跟哪儿的距离怎么样，哪儿跟哪儿的对比怎么样，要分长短，要分大小，人中长的人活的寿命就大。其实这都是数学的概念，所以对于人类来说，数学是认识世界的一个最基本的方式。

爱情里面也充满了数学的表达，说“执子之手，与子偕老”，这是很长的一个数字，偕老，起码是几十年的一个数字。“不需要天长地久，只需要曾经拥有”，这是另一种爱情观，这种爱情观要求的是瞬间，是一刹那，甚至于就是偶然，是不稳定。

所以，我觉得数学是一个基本的认识世界的方式。顺便我也呼应一下，比如说咱们也研究商高定理，但是没有发展成为一个完备的数学，我觉得有两点值得探讨：一是咱们喜欢整体性的思维，既是为了实用丈量土地，又是为了趣味，通过商高定理，我觉得很有趣味，三、四、五这几个数字，太迷人了，要研究的就是数量关系，但没有抽象化，分割得很清楚。二是咱们不重视计算，丈量计算我们不够重视，从古代就不够重视。毛泽东讲实践论，这是他的哲学名著之一，他说感性认识多了，就变成了理性认识。但是这个话不完全，因为感性认识再多，本身不可能变成理性认识，毛泽东本人已经认识到这一点，所以，他最初在延安提世界上的知识，一个是阶级斗争知识，一个是生产斗争知识，但是在一九五八、一九五九年，尤其是在“大跃进”失败以后，毛泽东提出来的是生产斗争、阶级斗争、科学实验。到现在为止未见有人研究为什么毛泽东加上了“科学实验”，我认为从背景上来说是由于“大跃进”的失败，从学理上来说，毛泽东体会到感性认识不可能由于数量的积累自然变成理性认识，需要通过科学实验。我斗胆来讨论这个问题，科学实验是重要的，还有一条同样重要的就是逻辑推理与数学运算，感性认识是通过科学实验，因为科学实验已经非常靠近逻辑推理与数学计算，这个加上以后，毛泽东的实践论、认识论就比较完整了。所以，如果我们有这样一个比较完整的认识，如果我们能够更加深入地探讨中国人的大脑需要更多地强调逻辑与数学的问题，我们中国人在科学上、在数学上，会有非常好的前途。

        零和无穷大的迷思

数学教授方奇志老师说《醉汉的脚步》，这题目简直太好了，太迷人了。这是一个数学的命题，也是一个文学的命题，这可以是一个长诗的题目，也可以是一个小说的题目。

“零”也是我最感兴趣的数字，我觉得这个“零”从哲学上说，就是中国人所说的“无”，因为零是zero，也就是nothing，所以，“零”就是无，无就是万物生于有、有生于无，所以无是本源。无当然是本源，因为我们每一个人都生于无，在我们被母亲怀胎之前，我们就是无。中国人在这个“无”字上是很下功夫的，老子说无为、无欲，认为一个人能做到“无”的境界，为学日益，为道日损，以至于无为，就是要做到“无”的境界。但是，无为无不为，为什么呢？因为有生于无，无又不是都有。中国人说的更伟大，说的什么呢？无非有，无是没有，无非无，无也不是永远无，无因为能够变成有，无非非无，但是无也不是把无给否定了，无本身是不否定无的，无不否定无，但是无又可以变成有。为什么能够变成有呢？有了无穷大的帮忙，无和无穷大结合起来，就有可能产生出“有”来，就从“零”变成了“一”了，有了“一”就有了一切。电脑的数字只有零、一，没有其他数字，就是零和一已经代表了全部数字。发展到最后它可以变成无穷大。当然关于无穷大，它是一个延伸的、正在进行的概念，还是一个已经完成的概念，在数学界有很大的争论。无穷大是什么呢？零和无穷大放到一块就是道。冯士筰院士讲到这个是把上帝人格化。把上帝人格化非常麻烦，因为米兰•昆德拉的小说里就描写欧洲的神学家曾经长期争论的一个问题，就是耶稣进不进卫生间？人格化了就有这个问题。而伊斯兰教并不人格化，因为它认为这是一个观念。我在新疆的时候和一个农民的五六岁的小女孩聊天，我就说这个真主，用手指着天。她告诉我说：老王，真主并不在天上，真主在我们每个人的心里。道也有这样的特点，它是一个概念，同时它高于一切。道是没有形象的，它既是规律、本体，取之不竭，用之不尽，“天地犹如橐龠乎”，就像皮口袋的风箱一样。新疆也有皮口袋这个东西，动之无穷，取之不竭，就是这么拉来拉去，永远没个完，这是特别具有无穷大的特色。所以，数学里面，一个是“零”，一个是“一”，一个是“无穷大”，这都是哲学，都是人生的符号，甚至是神学的符号。神学并不是说我们一定要相信教会，因为对于神学的经典定义，就是终极关怀，终极眷顾，就是不可能用现世、用经验说明的一切，我们从无怎么变成了有。你如果这么说的话，这个无穷大就真的可以解释一个，我不知道我说的对不对，就是说它已经超出了经验，我甚至认为这是人类语言的产物。因为我们人的经验是有限的，没有无穷大，有零，这个经验是有的，有限是有的，不管多么大，但是，根据人们构造反义词的功能，我们感悟到除了有限以外还有无限。零和无穷大之间，有和无之间形成了各种的悖论。数学悖论说到底也是一个零和无穷大之间的悖论，因为，既然是零，你永远是零，可是无穷大了以后它又不完全是零。数学悖论里最基本的问题是说你如果承认有，那有没有零啊？那零也是一种有的方式，如果零变成了有的方式，就太受鼓舞了，我一想到这个，我晚年对于岁数越活越大，到了最后乘鹤西去上西天我都不害怕了，因为零也是一种存在的方式，零也是一个数字，零也是有。当一个人去世以后，我们说某某人千古，什么意思呢？他变成零了。所以进入了永恒即无穷（大）了。零既是无同时又是有，而且是通向无穷，通向永恒，通向终极的。把无与有连通起来，这是什么呢？这是数学、神学、文学、哲学、诗学也是艺术，是人类生命的最大痛苦也是最大满足！生命是什么？与零相比，它是无穷；与无穷相比，它是零。

生命的特色，用佛教的语言来说，色（有，N）即是空（无，零），空（无，零）即是色（有，N）。零怎么变成N的？累积上即乘∞；N怎么变成零的？分散为、耗散为即除以∞。本来的“无”，没有无穷大就没有“有”；本来的“有”，没有与无的比照就没有永恒与无穷，而没有无穷大就没有无，无穷大与零，这是多么激动人心的终极观。这就是激情，这就是膜拜，这就是终极，这就是折磨、纠结、一切悖论的母亲与爆炸。这就是上帝啊。传染病的零报告同样是疫情报告啊！零疫情也是疫情啊。如果我说无，那么无会不会无呢？无无了，那不就变成有了吗？这不就是人生最大的悖论？如果我说相信有，那么无不也是应该相信的有吗？无是可能无的，有也是可能无的。有当然是可能有的，但是，无的同时又变成可能有的了。这一下子整个世界都活了。这就是上帝，我说的这个上帝是完全不进卫生间的终极。当有了终极以后，无、有、生、死、存在、规律、本体、抽象都激活了，真是让人感到无限的幸福。

（文章来源于《三联生活周刊》）

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新教育实验，是一个以教师专业发展为起点，以通过“营造书香校园、师生共写随笔、聆听窗外声音、培养卓越口才、构建理想课堂、建设数码社区、推进每月一事、缔造完美教室、研发卓越课程、家校合作共建”十大行动为途径，以帮助新教育共同体成员过一种幸福完整的教育生活为目的的教育实验。

什么是新教育？对于我来说，当一些理念渐被遗忘，复又提起时候，它是新的；当一些理念只被人说，今被人做的时候，它是新的；当一些理念由模糊走向清晰，由贫乏走向丰富的时候，它就是新的；当一些理念由旧时的背景运用到现在的背景去续承，去发扬，去创新的时候，它就是新的。