符合“欧氏几何”的洛伦兹变换图示法的设计

洛伦兹变换是相对论理论的重要内容，其变换公式及物理图像通常用一个光锥来表示。闵可夫斯基时空图是最常见的洛伦兹变换的图示法，邓魁英[1]通过闵可夫斯基时空图实现洛伦兹变换的几何导出。梁灿彬[2]总结这种作图方法：“要先选一个惯性系作标准(t轴和x轴分别画成竖直和水平)”，即只能有一个以直角坐标系表示的参考系，这是特殊的“闵氏几何”，魏益焕[3]验证“欧氏空间”的圆对应“闵氏空间”的双曲线。初学者往往不习惯“闵氏几何”作图，而需要借鉴其他图示法来理解洛伦兹变换，如缪劲松[4,5]介绍狭义相对论的物理现象，采用了多种示意图。

对这一问题，黄献民[6]提出将时空图画成对称的特例，党兴菊[7]设计了斜交坐标轴时空图。在此基础上，文章尝试设计符合“欧氏几何”的洛伦兹变换图示法。

1 简化洛伦兹变换

按照张元仲[8]讨论，建立有特殊设计的两惯性参考系：S′系沿S系x轴正方向以不变速度运动，两参考系在各自零时刻重合(即时空轴重合)。对两参考系，仅讨论时间和沿运动方向的空间，以x、x′表示空间坐标，使用特殊的时间坐标(单位：米)

其中t0、t′0为通常的时间。设两参考系相对速度为u，c为光速，设有角度μ，使

sinμ=u/c

可将洛伦兹变换逐步简化过程如下：

经过类似步骤，将洛伦兹变换的4个公式改写为

因其能被改写为以上几何函数形式，故可以设计符合“欧氏几何”的图示法来表示洛伦兹变换。

2 图示法的设计过程

2.1 x′=0条件下的洛伦兹变换图示法

将x′=0代入洛伦兹变换，设t′为任意值t′1，得到式(1)、式(2)

式(2)表示：当S系t时刻，S′系空间坐标零点的S系空间坐标为t×sinμ。

由以上两式，x′=0条件下，可构造x和t′1为两直角边，t为斜边的直角三角形，如图1所示。

图1 x′=0条件下的洛伦兹变换示意图

约定本文图中各点、线分别表示：①图中各点代表物理事件；②为S系时间轴，线上各点到C的线段长度表示S系时间坐标t=t0*c，S系时间坐标值沿从C到B方向增大；③为S′系时间轴，线上各点到C的线段长度表示S′系时间坐标t′=t′0×c，S′系时间坐标值沿从C到A方向增大。

根据以上约定，图1中C点代表洛伦兹变换的两参考系重合时空坐标原点，上各点分别代表S′系、S系各时刻的空间坐标零点。

∠CAB为直角由式满足

由上式及式满足

(长度)表示：当S系时刻，S′系空间坐标零点的S系空间坐标为t×sinμ。

提出一种“火车-铁轨”模型说明图1。设有铁轨与月台为S系，一列在铁轨上行驶的火车为S′系，两参考系分别有观察者。以火车前进方向为两参考系空间轴正方向。以火车尾端车厢为S′系空间坐标零点，火车各车厢代表S′系空间坐标x′，各车厢有挂钟。以月台为S系空间坐标零点，各段铁轨代表S系空间坐标x，各段铁轨上有挂钟。则图1中三角形ABC可表示从S系观察S′系的情景。C点代表两参考系零时刻的“火车尾端车厢运行到月台位置”事件。S系中，在表示的t时刻，观察者会看到火车尾端车厢运动到表示的铁轨t×sinμ位置，观察者还会发现，此时火车尾端车厢的挂钟指向表示的t′1=t×cosμ时刻。

图1中，做交于D，构成直角三角形与t′1满足

由前文所述，线上各点代表S′系空间坐标零点，且图1中S′系空间坐标值沿从D到A方向增大。因此为负值，表示S′系时刻，S系空间坐标零点的S′系空间坐标为-t′1×sinμ。

2.2 x=0条件下的洛伦兹变换图示法

将x=0代入洛伦兹变换，设t为任意值t1，得到式(3)、式(4)

由以上两式，x=0条件下，可构造x′和t1为两条直角边，t′为斜边的直角三角形。以图1中S′系(0,t′1)事件发生的S系时刻为t1，使表示S系t1时刻。在图1基础上，做交延长线于E，构成直角三角形CBE。如图2所示。

图2 x=0条件下的洛伦兹变换示意图

易知∠BCE=μ，再由式(3)，则满足式(5)、(6)

则与t′、x′满足

为正值。根据对空间坐标值增大方向的规定，为负值，表示S′系时刻，S系空间坐标零点的S′系空间坐标为-t′×sinμ。

图2中三角形CBE可表示火车观察月台。按照日常生活经验，当月台上的接站人看到行驶中火车的尾端车厢里的乘客时，乘客自然也可以看到接站人，按照洛伦兹变换则不同。从洛伦兹变换，月台上的S系观察者在t1时刻，会看到火车尾端车厢的挂钟指向t′1，但这是一种单方面的观察。如果月台上的接站人此时向火车挥手，在S′系t′1时刻，火车上的乘客能看到吗？从洛伦兹变换，他不能。

图2中，火车尾端车厢的乘客在表示的S′系t′1时刻观察月台，会看到月台挂钟指向所表示的S系时刻，这早于表示的S系t1时刻。他看不到t1时刻的月台，自然就看不到接站人向他挥手。乘客要到表示的S′系时刻，才能看到月台上的挂钟指向t1并看到接站人挥手。而接站人看到乘客回应，要等到S系时刻。

图2描述了狭义相对论的时空的奇怪现象，我能看见你，你却看不见我。B点的S系观察者可以观察线表示的S系时刻的各空间坐标，他在A点能看到S′系时刻的空间坐标零点。A点的S′系观察者可以观察线表示的S′系时刻的各空间坐标，所以他看不到B点事件。同样，S′系的E能看到S系的B，但B看不到E。这又会引起乘客和接站人对他们彼此距离的不同看法。图2中，当接站人在B点，他会看到乘客在A点，接站人认为彼此距离为但A点的乘客会看到接站人在D点，因此，A点的乘客认为彼此距离为

2.3 一般性的洛伦兹变换图示法

设x、t为任意值(x1,t1)，代入洛伦兹变换，得到

根据x1的系数和tanμ，可构造x1为一条直角边，该直角边与斜边夹角角度为μ的直角三角形，表示非零的x1造成x′、t′的改变量。图2中，过B做垂线，在此恰为线，选上一点H，使长度为x1。做交延长线于J，构成直角三角形BHJ。易知∠HBJ=μ，则满足式(7)、(8)

由式(6)、式上的可表示为

即EJ可表示x′。做交于I，得到平行四边形EJIH，则满足式(9)

(9)

由式满足式(10)

(10)

由式(9)、式(10)，图2中可表示可表示t′。

从图2得出一般性的洛伦兹变换图示法，如图3所示。以夹角角度为μ的两线和作为两参考系时间轴，对H点代表的任意物理事件，做交于交于I，则以表示其S′系空间坐标和时间坐标，以表示其S系空间坐标和时间坐标。根据以上证明，这些线段长度符合洛伦兹变换的时空坐标值相互关系。本文图示法中，两参考系的时空轴夹角相同。替换两参考系时间轴，图3就表示洛伦兹变换的逆变换。这有别于闵可夫斯基时空图中按照“闵氏几何”正交的两参考系时空轴。

图3 一般性的洛伦兹变换图示法

3 “异地同时性的破坏”“长度收缩”的图示法

设t′为定值t′2，代入洛伦兹变换，得到

由上式，当t′为定值t′2，x和x′一一对应，当x增大，x′也增大；x和t一一对应，当x增大，t也增大。“火车—铁轨”模型中，这相当于火车上的乘客在t′2时刻拍摄的一幅铁轨、月台和火车的照片。当照片中某节铁轨上挂钟指向t2时刻，想知道这是哪段铁轨(求x)、对应哪节车厢(求x′)，可由图4表示。

图4 定值t′2条件下，两特定事件的洛伦兹变换示意图

图4以图2中(x1,t1)事件在S′系发生的时刻为t′2，即以长度为t′2。在上任选B′，以表示S系任意时刻；做交于H′。由图示法，H′的S系空间坐标为时间坐标为其S′系空间坐标为时间坐标为与H是S′系同时事件。

以图4表示这幅S′系t′2时刻的照片。当B′沿方向移动，H′的S系时间坐标增大，其S系空间坐标增大，说明照片中沿火车前进方向越远处铁轨上的挂钟指向越晚的S系时刻；同时，H′的S′系空间坐标增大，而其S′系时间坐标不变，说明这是S′系中拍摄照片瞬间的两参考系时空关系。

图4可以表示“异地同时性的破坏”，H和H′是S′系时刻的异地同时事件，但S系中两事件分别发生在时刻和时刻。如张艳亮[9]提出“若(S系)两事件是异地(同时)事件，则在S′系中一定不同时发生”。

根据“物理长度必须同时测量”[10]，H和H′的S′系空间坐标之差具有物理长度意义，而两事件的S系空间坐标之差不能同时测量，也就不符合物理长度定义。因此，学者们[11，12]提出，有的物理学教材对“长度收缩”的推导与“异地同时性的破坏”冲突。教材推导为：已知S系某时刻一运动杆两端点时空坐标，则以两端点的S空间坐标之差为“动长”，将两端点时空坐标代入洛伦兹变换，求得两端点的S′系空间坐标，以其差为“静长”。以图4表示教材推导：做交于E，得到直角三角形HEH′，做交于L。由图示法，E的S系时间坐标为空间坐标为其S′系时间坐标为空间坐标为以共线的E、H′代表S系某时刻的运动杆两端点，则两点S系空间坐标之差为推导中“动长”，两点的S′系空间坐标之差为推导中“静长”。

图4中，易知E和H的S′系空间坐标相同，即

因此，对E的S′系空间坐标与H′的S′系空间坐标之差，有

从图4易知教材推导中“动长”和“静长”之比符合“长度收缩”。但此推导存在问题，以图4表示：S′系中，E发生在时刻，H′发生在时刻，两点不能同时测量，因此，S′系中两点空间坐标之差，即推导得到的“静长”，其实不具有物理长度意义。

张之翔[13]以静止系观察运动系测量两点距离的过程描述“长度收缩”，静止系观察者会发现，运动系测量者先测一点，后侧一点，两事件有时间间隔，而后测的一点在这段时间中移动了。以图4表示。S′系中，E和H的空间坐标相同，E的时刻较H延后，两点表示不同时刻的同一空间位置。当从S系观察S′系中静长系观察者会发现，H发生在时刻，H′发生在时刻，在S系时刻，S′系中H将以两参考系相对速度运动至E，所以S系观察者会在时刻观察到收缩了的动长这是“洛伦兹变换中时间和空间相互关联”[14]造成的观测结果，因此“应将尺缩理解为借用词，而非本义词”[15]。图4表示了“长度收缩”的原因是两参考系时空形式的改变。本文图示法中，两参考系时空轴上等长线段表示相同的时空间隔。闵可夫斯基时空图则以不等长的“闵氏几何”线段表示。

4 结语

本文设计图示法以符合“欧氏几何”的形式表示洛伦兹变换和狭义相对论的各种物理现象，可作为初学者和爱好者学习中的借鉴。最后需要指出，论文讨论的仅是一维空间、一维时间的洛伦兹变换，洛伦兹变换的核心在于变换要保持两个惯性系光速不变，因此三维空间的旋转，也是一种洛伦兹变换。更为广义的空间反射、时间反演等分立变换都可以保持光速不变，因此也都可以看做是洛伦兹变换。

论文写作和修改过程中，先后得到山东财经大学李秀荣教授、山东建筑大学郝怀杰教授、山东大学许心光教授提出的宝贵意见，以及编辑和审稿人对本文的修改意见，在此表示感谢。

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作者简介: 刘远，《山东财经大学学报》编辑部编辑，主要从事期刊编校工作，[e-mail]。

引文格式: 刘远. 符合“欧氏几何”的洛伦兹变换图示法的设计[J]. 物理与工程，2019，29(4)：49-53，72.

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