咿呀转转机运动特性的研究
咿呀转转机是一种有趣的力学玩具，它可以演示两个沿着互相垂直方向的正弦振动合成的利萨如图轨迹。其主体木棒上有一系列的凹槽，在其末端有一螺旋桨，图1中展示了咿呀转转机的模型。如果用另一根较小的滑动杆划过凹槽，则螺旋桨会开始旋转。
图1 咿呀转转机[1]
人们很早就对于螺旋桨旋转以及螺旋桨和木棒的耦合运动进行了相关的研究。Clifford和Bishop在1937年首先提出一个木棒末端的钉子在两个正交方向力的作用下的运动轨迹为一个椭圆，钉子的运动可带动螺旋桨旋转[2]。1993年东南大学的叶善专等人也曾提出过类似理论[3]。1960年，Caughey研究了以呼啦圈为代表的一类参数振动系统指出了支点作简谐振动的单摆与呼啦圈系统的等效性，呼啦圈的运动与咿呀转转机的运动相似[4]。Seyranian和Belyakov 在2010年从牛顿力学的角度对呼啦圈的运动作了系统的研究[5]，发现当运动员的腰以椭圆为轨迹进行运动时，呼啦圈可以稳定地旋转，同时这一椭圆的轨迹可以具有相位差。James Wilson曾在1997年指出对于咿呀转转机这一完整的系统其运动满足参数共振(PSR)，即当中心轨道的旋转频率为某一定值时，螺旋桨有一个稳定的数值相等旋转角速度[6]。上述研究的理论大都假设钉子与螺旋桨始终保持接触。Martin Marek 等人的最新研究则认为，螺旋桨与钉子之间的接触为瞬时碰撞，且钉子的椭圆运动并非为螺旋桨旋转的必要条件，当钉子的平均加速度为重力加速度g时，螺旋桨稳定旋转的角速度最大[7]。咿呀转转机这一问题在第30届国际青年物理学家锦标赛(30st IYPT)中被提出[1]，题目描述如下：咿呀转转机是一种力学玩具，它由一个简单的木棒(后称为滑动杆)和一个具有一系列凹槽的木棒组成，在木棒末端有一个螺旋桨，当滑动杆划过凹槽时，螺旋桨开始旋转，解释这一现象并研究相关参数对它的影响。
Clifford和Bishop[2]指出带凹槽木棒上钉子的运动轨迹是一个利萨如图[8]，同时 Caughey的理论被用来描述螺旋桨的运动。如果带凹槽木棒在整体弹性形变的基础上在驱动力的作用下做不完整谐振，螺旋桨的真实运动与呼啦圈的运动不完全相同，其旋转的原因是碰撞时横向摩擦力冲量对螺旋桨角动量有贡献。
1 咿呀转转机
操作咿呀转转机时，双手各执一根木棒，这会引入非常大的误差。为了研究的准确性，我们设计了如图2的实验装置，采用小型台钳将带凹槽木棒的一端完全固定，采用手来控制滑动杆的划动，并尽量控制压力和划动速度的恒定。利用光电门测定木棒滑动的速度，利用高速摄像机拍摄螺旋桨的运动情况。
图2 咿呀转转机实验装置
使用tracker软件追踪钉子的运动轨迹，如图3中可以得出钉子的位置点沿y轴的分布，其原因是随着施力位置不断远离固定点，弯矩变大造成钉子位移增大。同时还得出：(1) 将滑动杆由小型台钳处划至带凹槽木棒末端(即螺旋桨处)时，钉子沿逆时针方向运动；(2)当滑动杆从带凹槽木棒末端划至小型台钳时，钉子顺时针运动；(3) 当滑动杆垂直于凹槽平面划动时，钉子的运动轨迹为一条直线。
图3 当划动速度保持25m/s左右时，钉子的运动轨迹。
(a) 滑动杆由小型台钳处划至木棒末端时，钉子沿逆时针方向运动； (b) 滑动杆从木棒末端划至小型台钳时，钉子沿顺时针方向运动； (c) 滑动杆垂直于凹槽所在平面划动时，钉子的轨迹为一条直线
2 模型建立
通常情况下，螺旋桨旋转有两种方式，其一是将滑动杆旋转一定角度，沿同一个方向划动；其二是用手指和滑动杆同时划过凹槽，且手指和滑动杆的施力方向相互垂直。下面以第一种划动方式为例进行分析。如图4所示，以钉子为原点建立右手系滑动杆保持在xOz平面内，并且其与x轴成一定角度。它使带凹槽木棒受到两种作用：沿y方向的正压力和沿x,y两个方向的同频率振动。下面分别对两种作用进行分析。
图4 在右手系中的咿呀转转机模型，带凹槽木棒沿z轴放置，滑动杆对带凹槽木棒施加的力沿y方向，木棒受力点距离点O的距离为a，大小为F，带凹槽木棒的形变角度为θ
2.1 带凹槽木棒的形变
实验中发现：在木棒划过凹槽时会对带凹槽木棒施加压力，使之形变。由胡克定律得木棒的应变与应力的大小成正比，并假定木棒质量均匀，弹性模量处处相同且挠度较小，这符合微小形变的实际情况。
如图4所示，令带凹槽木棒长度为l，沿y轴方向施加力F，通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，得到力平衡方程和力矩平衡方程为(略去高阶小量)：
其中，ρ为木棒密度;A为截面积;Q为横截面上的剪力;M为截面弯矩，m为单位长度外力矩，代入4个边界条件：
其中，D为挠度；弯矩与挠度的关系为
联立式(1)～式(6)得带凹槽木棒的形变为
(7)
其中，I=πd4/64;d为木棒直径。从图4可知，此形变为y方向的形变，因此得到，带凹槽木棒在y方向的形变远大于在x方向的形变。
2.2 钉子的运动轨迹
由文献[2]和文献[6]，凹槽末端钉子的运动是一个简谐振动。通过高速摄像机观察滑动杆划过凹槽的运动，发现滑动杆在划过每一个凹槽时，会与带凹槽木棒在两个正交的方向上发生碰撞，这种周期性的碰撞会激励钉子使其振动。当带凹槽木棒受到一次碰撞达到最大形变之后会向平衡位置运动，由于有滑动杆的约束，在平衡位置附近会发生下一次碰撞。可以认为在每一个“小周期”，即划过单个凹槽的时间间隔内，钉子的振动近似为简谐振动。图5为带凹槽木棒在一个方向上的振动示意图。
钉子的运动轨迹为
此即为带凹槽木棒末端的运动轨迹。设力F及单位外力矩m为零，将其代入式(1)和式(2)，代入边界条件：Y(0)=0,Y′(0)=0,Y″(l)=0,Y‴(l)=0，解得带凹槽木棒的一阶主振型为
(10)
其中，r1=(sinβ1l-sinhβ1l)/(cosβ1l-coshβ1l)；β1l=1.875；C1；β1；r1皆为常数。
同理可得x方向的一阶主振型为
(11)
钉子的固有频率中的基频为
图5 带凹槽木棒在一个方向上的振动示意图
故在每个“小周期”内，钉子作不完整的椭圆运动。两方向振动相位差φ影响了椭圆轨迹的倾斜程度，也会造成螺旋桨旋转方向的不同。木棒划过凹槽时，两个方向的碰撞都同时发生，因此φ的两个分立的取值对应于螺旋桨的两个旋转方向。
2.3 螺旋桨的运动
通过实验发现，在木棒划过凹槽的阶段，钉子会剧烈振动，而螺旋桨与钉子之间并非始终保持接触，而是会发生高频率的碰撞，这使得定量研究这一现象较为困难。设μ为螺旋桨与孔内壁之间的摩擦系数，α为钉子与孔壁碰撞前，二者相对速度方向与孔壁法线方向的夹角。碰撞中，螺旋桨受到的冲量由两个力贡献：横向的摩擦力FN=μFT和径向的正压力FT。摩擦力冲量使螺旋桨的角动量增加，转速加快，是转动的动力来源。螺旋桨两方向动量的增量分别为
因此螺旋桨的角动量增量为
引入钉子的最大加速度an=4π2Anω，An为钉子的振幅，ω为钉子的旋转频率，由参考文献[7]可知，螺旋桨能够达到最大角速度的条件为：(1)当an较小时，碰撞频率较低且二者相对速度较小，加速作用不明显；(2)当an较大时，钉子的平均速度大于螺旋桨内侧的旋转线速度，碰撞时摩擦冲量使螺旋桨减速，同时阻力矩增加，因此存在一个使转速最高的an值。
图6
(a) 钉子与螺旋桨的受力示意图； (b) 以O为中心的虚线为钉子的运动轨迹，O′为钉子的几何中心，以C为圆心的实现为螺旋桨几何中心绕钉子(以钉子为参考系)的运动轨迹
纯滚模型可以近似表示螺旋桨旋转时发生的真实物理过程。螺旋桨的转轴作椭圆运动，带动桨叶旋转，其物理机制类似于呼啦圈的运动。如图6(b)，虚线为钉子的运动轨迹，钉子的中心位于O′,而螺旋桨上圆孔的圆心位于C点，r和R分别为钉子和孔的半径。如图6(a)，以钉子为参考系，得到两个方向上的转矩平衡方程和牛顿第二定律方程：
其中,β为阻尼系数；FN为静摩擦力；θ为螺旋桨相对于钉子的转角；φ为螺旋桨相对于竖直方向的转角；FT为正压力；Ic为螺旋桨绕质心的转动惯量；m为螺旋桨质量。对于纯滚模型，有如下几何关系：
从式(14)～式(16)，可以得到螺旋桨运动的微分方程为
(17)
其中，γ=β/(IC+mR2)；A0=(ω2a0)/(IC+mR2)；B0=(ω2b0)/(IC+mR2)；IC=[mab(a2+b2)-6πmR4]/[12(ab-πR2)]；a0、b0分别为钉子运动轨迹中的半长轴和半短轴；a、b分别为螺旋桨的宽和长；ω为钉子的运动频率。该理论假设钉子与螺旋桨之间为纯滚动，不发生滑动和脱离。螺旋桨不脱离钉子的条件为FN >0，即，压力恒为正值，同时该旋转满足以下条件：
(18)
从式(17)中得到参数：γ, ω和r/R。为了研究相关参数对螺旋桨旋转的影响，我们进行了相关计算和实验。
3 实验
在实验部分，首先使用tracker软件研究了钉子的轨迹,并研究螺旋桨角速度的变化趋势及相关参数的影响，改变相关参数进行了实验研究。
3.1 滑动杆匀速运动的验证
图7
(a) 滑动杆划过凹槽一次时的相对响度，施加的压力是近似恒定不变的； (b) 滑动杆划过两个凹槽的时间间隔和凹槽数的关系
手执滑动杆滑动可以达到一个近似恒定的速度，记录下每次滑动时碰撞的音频并使用Adobe Audition进行分析。每次碰撞对应一个响度-时间图像上的响度峰。从图7(a)中可以看出每一个响度峰之间的间隔是均匀的，测量各个响度峰之间的时间间隔，即可测得划动木棒的速度。经过音频分析可得，证实可以将手的速度控制在(25.00∓0.39)m/s，即，对带凹槽木棒施加的力以及滑动杆移动的速度均为恒定的。对于数据采集，使用800帧/s的高速摄像机沿z轴方向正对钉子记录其位置，使用tracker软件来测量并分析钉子的轨迹。在每一种旋转方向下，随机选取滑动杆划过凹槽一次的音频来进行分析。得到的结果如图7(b)。
3.2 螺旋桨的运动
为了探究相关参数(如：阻尼系数、碰撞频率、半径比)对螺旋桨运动的影响进行了相关实验，并且使用Mathematica计算螺旋桨在特定情况下的旋转角速度。
通过改变凹槽间隔改变滑动杆和凹槽的碰撞频率，设置5组实验，凹槽间隔由2～10mm(如图8)，保证滑动杆的速度恒定。选择不同角频率，进行5组实验。同时使用光电门计时器测量螺旋桨旋片两端分别经过光电门的时间间隔，以此间接计算螺旋桨角速度。最后使用Origin分析得到的数据，如图9(a)，实验条件如表1。结果是，螺旋桨角速度正比于滑动杆与凹槽碰撞的角频率。
我们计算了螺旋桨角速度与滑动杆角频率的关系。螺旋桨质量m为1.00g，孔径R为3.20mm，螺旋桨宽和长a、b分别为1.00cm和7.00cm，钉子的振幅a0、b0同为2.00mm，令阻尼系数γ为零。可以得到如图9(b)的结果：图线的斜率代表螺旋桨角速度，当其为常数时，螺旋桨的旋转是稳定的；螺旋桨达到稳定旋转所需要的时间与角频率成反比，其角速度与滑动杆角频率成正比。因此实验与基于理论的计算结果是互相吻合的。
图8 编号从(1)到(5)的带凹槽木棒，其凹槽间隔分别为2mm,4mm,6mm,8mm和10mm
图9
(a) 改变凹槽间距，分别设置为2mm,4mm,6mm,8mm和10mm，同时控制手的移动速度约为25m/s得到如图的实验结果，螺旋桨旋转角速度与木棒和凹槽碰撞的角频率成正比；(b) 当ω(即，滑动杆与凹槽碰撞的角频率)分别为10、50、100时螺旋桨转过的角度随时间的变化
表1 碰撞频率实验的实验条件和结果
使用不同直径的钻头处理螺旋桨同时控制钉子的孔径基本相同，以此控制半径比(如图10)；在5组实验中分别选用不同的半径比，并且每组实验进行5次；使用光电门计时器得到螺旋桨旋转角速度，使用Origin分析得到的数据，实验结果如图11(a)，实验条件如表2；同时从实验数据中发现螺旋桨旋转角速度反比于半径比。
图10 编号从(1)到(5)的螺旋桨，其小孔半径与钉子半径的半径比分别为0.30,0.34,0.44,0.61,0.72
图11
(a) 通过改变螺旋桨孔径控制半径比分别为 0.30,0.34,0.44,0.61,0.72,同时控制手的移动速度约为25m/s。图中为实验点，得到的结果显示螺旋桨旋转角速度反比于半径比；(b) 令半径比分别为0.2,0.5,0.8,并且控制其他条件相同，得到螺旋桨旋转角度随时间的变化。
表2 半径比实验的实验条件和结果
接下来进行计算得到理论上螺旋桨角速度与半径比的关系。令螺旋桨质量m为1.00g，滑动杆角频率为60π(rad/s)，螺旋桨的宽和长a、b分别为1.00cm和7.00cm，钉子的振幅a0、b0同为2.00mm，令阻尼系数γ为零。得到如图11(b)的计算结果：螺旋桨旋转角速度与半径比成反比。
阻尼来源于空气阻力和螺旋桨孔径与钉子之间的摩擦，可以通过在螺旋桨孔壁和钉子之间滴加植物油来改变其阻尼系数。当阻尼系数很小时,螺旋桨会达到一个稳定旋转的状态。使用tracker软件得到螺旋桨的角度随时间的变化，其中一个稳定旋转的状态如图12。
图12 螺旋桨旋转过的角度与时间的关系，在螺旋桨孔壁和钉子接触点添加植物油润滑
接下来通过计算得到螺旋桨角速度与阻尼系数的关系。令螺旋桨质量m为1.00g，螺旋桨半径R为3.20mm，滑动杆角频率为60π(rad/s)；螺旋桨的宽和长a、b分别为1.00cm和7.00cm，钉子的振幅a0、b0同为2.00mm。得到的结果显示较小的阻尼系数下可以得到稳定的旋转，但该旋转角速度低于无阻尼时的情况；同时，当γ增加到1.9×105左右的临界值时，其转角开始出现随时间的波动，旋转开始不稳定；若γ继续增大，则波动增长以使得转动难以进行，这是因为驱动力矩做功不足以抵消阻力矩做的负功。计算结果如图13。
图13 螺旋桨旋转角度和时间的关系，理论计算结果显示，阻尼系数很小时，螺旋桨旋转是稳定的，临界阻尼系数为1.9×105
(a) 阻尼系数很小时，可以得到稳定的旋转； (b) 在临界阻尼系数下，螺旋桨的旋转开始变得不稳定； (c) 阻尼系数增大时，旋转始终不稳定
4 结语
本文针对带凹槽木棒及滑动杆和螺旋桨组成的咿呀转转机，使用动力学方程(牛顿第二定律和角动量定律)研究了带凹槽木棒的形变和钉子的运动轨迹。从理论和实验两个方面验证了钉子的运动轨迹为椭圆，当阻尼系数较小时螺旋桨可以达到稳定的旋转，同时当滑杆的角频率增加、钉子与螺旋桨半径比减小时，螺旋桨的旋转角速度会增大。
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基金项目: 高等学校教学研究项目(DWJZW201702hb)及国家基础科学人才培养基金(J1210027)资助。
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