苏州高二（上）数学调研考后随想
每年年关，总有一出大戏让人揪心，它的名字叫期末考试，尤其是高二上学期的数学测试让人更闹心。为何有此一说？由于苏州地区考查内容是必修2以及选修中的圆锥曲线与导数，所以更容易出现两极分化的灾难性现象，这其中至少考了江苏高考的3个大题（立体几何、圆锥曲线、导数），重要性和难度水平可想而知。
纵观整份试卷，基本沿袭了“苏式”高二数学的命题风格和试卷结构，此次苏州高二数学期末测试大市均分约101分，难度系数约0.63。下面结合试卷和个人思考作简要分析：
（一）填空题
填空题中基本题题量较多（题1-11均属于），基本涵盖常见知识点，如简单逻辑用语，抛物线方程、双曲线方程、点到直线距离公式、单调区间、椭圆离心率等，其中第9题以《九章算术》中的阳马、堑堵等名词考查立体几何体的体积（关系）计算，符合教育部考试中心提出的“渗透数学文化”命题要求，第10题是所谓的“黄金椭圆”，第11题只给出3个选择支，降低干扰信息，比较人性化。
第12题是切线问题，先通过相切找到k，b的等量关系，再进行消元，构造新函数求最值，属中档题；
第13题如预料之中的“隐圆”问题，你发现了吗？敢情没有好好阅读（【资源放送】“隐圆“何其多，专题来突破）这份资料吧！定角+定长——点P的轨迹是圆弧（优弧），注意这是两端圆弧（呈∞型，俗称“葫芦”），根据两圆位置关系（临界情形为相切）找到答案，还是那句话：不识隐圆真面目，只缘深陷题海中；抑或抓住∠APB不放松，通过设P点坐标（建议运用角参）再运用各种方式（如向量、夹角公式、两角差正切等）进行表达，转化为含有半径r的方程有解问题，即可获解。
第14题考查三次函数零点问题，按理说本题的难度小于13题，但解答情况不容乐观。从处理方法来看，至少本题有两种路径可尝试：
路径1：直接研究f(x)的极值，只需满足两个极值的乘积异号；
路径2：研究g（x）=(x-1)(x-a)^2与y=a-1的交点问题，其实g（x）的图像相对f(x)而言还是容易画出的。
为何本题的得分也不甚理想，可能缘于13题的思维障碍和运算压力产生的心理效应，加之本身高二学生对三次函数的研究并不系统和深刻，另外就是学生解不等式（风格类似2017最后一题的不等式）的基本功偏弱。
（二）解答题
解答题15题-16题当属基本题，当看到第15题图时不禁想起2000年高考题的最后一题，当然难度不可同日而语：
本题考查双曲线基本量的计算，其实本题的命制倒是给教学和命题一个很好的启示，即便是高考也可以改变命题思路，不要总把解答题对圆锥曲线的考查局限于圆与椭圆，不妨试试抛物线与双曲线，正如上述高考题一样，圆锥曲线中的双曲线也可以命制最后的大题，也会有别样的风格，其实很多省外高考卷就命制双曲线或抛物线试题，值得学习！
第16题给人一种预料之中的立体改编题，似乎得分并未达到应有的水平，可能与复习时重视程度有关，从很多同学的答卷来看过程并不规范，证明的逻辑点遗漏较多导致失分比较严重。本题是课本题改编而成，也是极其经典的几何图形，尤其是第（1）问的证明大有文章可做！
第17题考查直线与圆的基本计算，两个C级要求，难度并不大，更何况第2问是常见的类阿波罗尼斯圆问题，由于教学的普遍重视学生对此类问题的认知难度不大，较好上手，所以相对而言，本题的得分应该较为可观。
第18题是本次测试的重灾区与分水岭，本题是由课本题（光的照度）改编而成，在之前期末资料大放送（1）中就总结了各种应用题模型，其中“y=a/x^2+b/(c-x)^2”更是非常重要（插播一个广告：关注“小丁话数学”从现在开始，有干货值得收藏！）。从测试结果来看很多学生并不能准确建模与合理解模，实在让人唏嘘不已。本题的聚焦点可能是模型中系数问题，特地百度了一下物理中的比例系数（引自“百度百科”）：在物理学的方程式中都包含有比例系数，所包含的比例系数与单位的选择有关。在定义方程式中，包含的比例系数是一个永远无量纲的量，它的数值是表示被量度的量的一种单位比另一种单位大到多少倍。若方程中所有各量均用一种制的单位来表示，则比例系数等于1，若各量是用不同单位制表示，则系数不等于1。为了避免因系数而招致的麻烦，所有包含在一个公式中的量，在计算时要用同一种单位制来表示，计算结果也将是同一单位制，此例系数(K=1)可以略去不写。由此可见，本题只要写成形如y=8/x^2+1/(10-x)^2均说明已经建立了数学模型，至于说前面系数是k1·k2，k1/k2还是k只是从考试的严格要求上讲的区别，适度形式化应是教学中一条基本准则。当然，本题在解模上也至少有两个路径：
路径1：求导，这也是基本路径，课本上一句轻飘飘的解得x=2，实际这是较难的思维节点，其实很多同学不能跨越，事实也说明考试中很多学生解不出x。可以尝试将其写成分数指数幂稍微好一点再求导，即y'=-16x^-3+2(10-x)^-3，在解方程y'=0时运用幂函数y=x^3单调性处理就简单不少；
路径2：运用不等式，如将y=8/x^2+1/(10-x)^2配成y=8/x^2+ax+ax+1/(10-x)^2+a(10-x)+a(10-x)+20a，再运用均值不等式即可，当然竞赛高手可以直接玩赫尔德不等式直接处理。
至此，本题再次提醒我们：重视课本，刻不容缓！千万不要再犯2017年应用题的错了！
第19题中以斜率定值为基本命题点，第（2）问中的第1小题更是典型结论k1k2=-b^2/a^2的又一变样应用。本题的最大难点在于最后一问的计算了，翻阅了一些学生的解答情况，发现没有多少同学能完整地解答到底，当然本题对高二学生的计算要求还是比较高的，不亚于高二二轮圆锥曲线的难度，其算法支持与2013江西高考圆锥曲线题类似，有兴趣者不妨一试。
第20题的第（1）问全市绝大多数同学都没有在求出a后进行检验，要么干脆不检验要么虚伪地“经检验”，学习“极值”时的逻辑等价性是最重要的数学内涵，没有逻辑性的结果就是拒绝给分！第（2）问第1小题的语言转化似乎总是迈不过去的大山——函数在区间I上单调递增等价于什么？很多同学始终是云里雾里搞不明白；最后一小问难度极大，几乎无人问津，尤其是b<0时如何说明f(x0)<0有解难度较大，用到了放缩和取点（当然可以解出不等式），这些都是高考的最大难点，对高二学生还是高不可攀的！
试卷就简单分析至此，具体研究或讲评还需深入！如您要查看完整的试卷与参考答案，请关注【官方发布】苏州市2018-2019学年度第一学期学业质量阳光指标高二数学调研卷。
【资源放送】期末资料大放送（1）
【资源放送】期末资料大放送（2）
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