来自前苏联的数学竞赛题，老大哥的数学确实牛（19年1月28日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第751天给出奥数题讲解。

今天的题目是数论问题，

来自前苏联的一次数学竞赛，

所用知识不超过小学5年级。

题目（4星难度）：

连续若干个正整数的和是216，满足条件的正整数有多少组？

注：单独1个216不计入答案。

讲解思路：

这道题属于数论问题，

题目中条件很少，

乍看上去无从下手。

为此考虑连续正整数和的计算过程，

如果有n个连续的正整数，

它们的平均值是p，

则和就是乘积np=216。

故解题思路是从平均值出发，

然后分别对n的奇偶性进行讨论。

步骤1：

先思考第一个问题，

对连续n个正整数来说，

其平均值p有什么特点？

首先连续n个正整数最小是1到n，

平均值最小是(1+n)/2。

当n是偶数时，

如果这n个数中最小的是a，

则p=(a+a+n-1)/2=a+(n-1)/2,

此时平均值p一定不是整数，

但2p=2a+n-1是奇数；

当n是奇数时，

如果这n个数中最小的是a，

则p=(a+a+n-1)/2=a+(n-1)/2,

此时平均值p一定是整数。

步骤2：

再思考第二个问题，

如果n是偶数，

满足条件的正整数有多少组？

从步骤1知道，

此时2p是奇数，

由于np=216,

故n*(2p)=432,

而432的奇数因数只有3,9,27，

故2p只能是3,9或27，

此时n分别是144，48或16，

结合p最小是(1+n)/2的要求，

满足条件的平均值p只能是13.5，

因此n是偶数时只有1组正整数。

步骤3：

再思考第二个问题，

如果n是奇数，

满足条件的正整数有多少组？

从步骤1知道，

此时p是正整数，且np=216,

而216的奇数因数只有3,9,27，

故n只能是3,9或27，

此时p分别是72，24或8，

结合p最小是(1+n)/2的要求，

满足条件的n只能是3或9，

因此n是奇数时有2组正整数。

结合步骤2的结论，

所以满足条件的正整数有3组。

注：如果直接套用等差数列求和公式，

这道题也能求解，

但计算量要大很多。

思考题（3星难度）：

有3个自然数，任意取出2个数相加，和不是2018就是2019。请问这3个数中最大的是多少？

微信回复“20190128”可获得思考题答案。看答案之前，顺手在右下角点个“好看”吧。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

同类题目链接：