上海市某中学小升初数学压轴题，除了难就是难（19年1月16日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第739天给出奥数题讲解。

今天的题目是数论问题，

题目来自上海市某中学小升初考试，

中间用到了因式分解的内容，

略微有点超纲，

但考虑到这是压轴题也能说得过去。

所用知识大多不超过小学5年级。

题目（超5星难度）：

有3个互不相同的质数a,b,c，满足(a+b)a=120+c,问满足条件的3个数是多少？

讲解思路：

这道题属于数论问题，

题目中的条件非常少，

自然想到要从最特殊的质数找起，

而2是所有质数中唯一的偶数，

因此解题思路是先讨论特殊的2，

然后考虑如何求这几个数。

步骤1：

先思考第一个问题，

c可能等于2吗？

如果c等于2，

就有(a+b)a=122，

122分解质因数后是2*61，

由于a,b都是质数，

故此时a也等于2，

但这与a,b,c互不相同矛盾，

因此c不能是2。

步骤2：

再思考第二个问题，

a和b中有没有哪个数等于2？

从步骤1中知道c不是2，

那c只能是奇数，

故120+c也是奇数。

由于(a+b)a=120+c，

则a+b和a都是奇数，

这说明b是偶数，

所有质数中唯一的偶数是2，

因此b=2。

步骤3：

综合上述几个问题，

考虑原问题的答案。

此时我们有(a+2)a=120+c，

即:a^2+2a-120=c,

(注: a^2表示a的平方。）

即(a+12)(a-10)=c。

由于c是质数，

而且a-10明显小于a+12，

故a-10=1且a+12=c,

因此a=11,c=23，

所以a,b,c分别是11，2，23。

思考题（4星难度）：

在昨天思考题基础上改进：

正整数a和b的最小公倍数是m，最大公约数是n。请问a+b和m的最大公约数是不是n?

微信回复“20190116”可获得思考题答案。看答案之前，顺手在右下角点个“好看”吧。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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