几何画板解析2017年河北中考倒二（几何背景）

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几何画板解析2017年河北中考倒二（几何背景）

Original 2017-07-21 永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂

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2017年河北中考倒二（几何背景）

平面内，如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=4/3.点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．

(1)当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；

(2)当tan∠ABP:tanA=3:2时，求点Q与点B间的距离(结果保留根号)；

(3)若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留π)．

图文解析：

（1）常规题，虽不难，但极易漏解，要注意要分两种情况。简析如下：

所以∠APB＝100°或80°.

（2）连接BQ，如下图示.要求“点Q与点B间的距离”即BQ的长.由已知条件“将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ”可知△PBQ为等腰直角三角形，可知BQ＝根号2×PB，因此只需求出PB的长即可.

显然应将条件“tan∠ABP:tanA=3:2”进行转化，而三角函数值的转化必须借助Rt△，结合条件，可添加如下辅助线：

在Rt△BPH中，tan∠ABP＝PH/BH；在Rt△APH中，tanA=PH/AH；所以条件“tan∠ABP:tanA=3:2”转化为“AH：BH＝3：2”.由于AB＝10，可得AH＝10×3/5=6，BH＝10×2/5=4.

在Rt△APH中，tanA=PH/AH=PH/6＝4/3,可得PH＝8.在Rt△BPH中，由勾股定理得：

（3）分三种情况：

①当P点落在边AD上时，如下图示：

由tanA=4/3，可设PB＝4t，PA＝3t

由勾股定理，得：AB＝5t=10，所以PB＝8.所求的面积为：

由∠BPQ＝90°，且BP＝PQ，联想到常用辅助线（K型），并设元（常用，能使计算带来方便），于是：

求PB的长的解法多种，也可用上一种方法去解，但相应地较繁。现提供另一种解法是：充分利用BQ∥AD，结合“tanA=4/3，AB＝10”这个已知条件，添加如下图如示的辅助线：

综上所述，所求的面积为16π或20π或32π.

反思：典型的“分类讨论和基本图形”变式模型所构成的动态试题，解题显然最基本的常见方法和技巧。

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