2019年全国高考卷Ⅰ第19题改编中考压轴——中考考生也能解答高考题，你也试试看！

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2019年全国高考卷Ⅰ第19题改编

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【2019年高考全国卷Ⅰ第19题】

已知抛物线C：y²=3x的焦点为F，斜率为3/2的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

【改编成初中试题——保持原汁原味】

已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=2x/3+b相交于点A，B，与y轴交于点P.平行于x轴的直线n交y轴的负半轴于点M，点F与点M关于x轴对称，且点A到点F的距离与点A到直线n的距离相等（此段文字实际上是解释焦点的定义）.

（1）求点F的坐标；

（2）若AF＋BF＝4，求直线l的解析式；

（3）若AP＝3BP，求AB的长.

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【图文解析】

（1）符合题意的图如下：

设F（0，t），A（3x，3x²），

则M（0，-t），AH＝3x²+t，

得AH²＝9x⁴+6tx²+t².

由勾股定理，得

AF²＝AD²＋DF²

＝(3x)²＋(3x²-t)²

=9x⁴+(9-6t)x²+t².

由题意，得AH²＝AF²，

得9x⁴+6tx²+t²=9x⁴+(9-6t)x²+t².

得6t＝9－6t.解得t=3/4.

所以点F的坐标为（0，3/4）.

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（2）如下图示.由（1）同理，知BF＝BG.

由AF＋BF＝4，得AH+BG=4，从而AD＋BE＝4－2×3/4=5/2.即y_A＋y_B＝5/2.

由直线l和抛物线C的解析式，

（从答案可以看出，上述草图点P应画在点F的下方处，但不影响解题，这里就不做更改）

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（3）【原题再现】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=2x/3+b相交于点A，B，与y轴交于点P.平行于x轴的直线n交y轴的负半轴于点M，点F与点M关于x轴对称，且点A到点F的距离与点A到直线n的距离相等（此段文字实际上是解释焦点的定义）.

【图文解析】当AP＝3BP时，如下图示：

【反思】数形结合思想，数式化简（含参运算）显然是数学学科素养和数学能力一个非常重要的方面，务必认真体会.

【拓展】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=2x/3+b相交于点A，B，连接OA、OB.若∠AOB＝90°，求b的值.

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