2019年中考浙江金华第24题（等腰直角三角形与相似）

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2019年中考浙江金华第24题

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【2019·金华】如图，在等腰Rt△ABC中， ÐACB=90°， AB=14√2，点D，E 分别在边AB ，BC上，将线段 ED绕点 E按逆时针方向旋转 90°得到 EF．

（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证： BD=2DO；

（2）已知点G为 AF的中点．

①如图2，若AD =BD，CE = 2，求DG的长；②若AD =6BD，是否存在点 E，使得DDEG 是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．

【图文解析】

（1）属于基础常规题，方法多种，仅提供一种．如下图示：

通过“平行且相等”可证四边形ADFE是平行四边形，得到DO＝0．5CD，再“斜边上的中线等于斜边的一半”可证得BDCD＝0.5AB，所以BD＝2DO．

 （2）【法一】添加如下图所示的辅助线．

易得△BEM是等腰直角三角形，又△DEF为等腰直角三角形，且DG＝0．5BF（中位线定理）．进一步可证△DEM≌△FEB（SAS），得到DM＝BF．如下图示

而DM＝BM－BD＝√2BE－BE/√2＝…＝5√2．

所以DG＝0.5BF＝5√2/2．

 【法二】添加如下图所示的辅助线．

所以BF＝5√2，进一步，得DG＝5√2/2．

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【试题再现】（3）已知点G为 AF的中.

②若AD =6BD，是否存在点 E，使得DDEG 是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．

【图文解析】分三种情况：

情况一：当∠DEG＝90°时，有如下图的两种情况：

由△DHE∽△ECA，得2:(12-x）＝x:14．解得x=6±2√2．

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情况二：

法一：若直接从∠DGE＝90°时去求解，相当较繁琐，难度大，根据图形结构特征，可添加DG∥BC，再证明∠DGE＝90°，相对较易．添加如下图的辅助线：

进一步，得：

从而2m＝4，得m=2，即CE＝GN＝CN．又DN∥BC，∠C＝90°，所以四边形GECN是正方形，得∠DGE＝90°，且此时CE＝2．

法二：类似上述（2）①中的法一证明，可证得点G的运动路径为直角三角形ABC斜边上的高CH．

如下图示，不难证得AD＝BD与DG⊥AB，得DG垂直平分AB，所以DG必过点C，即点G在直线CD上．

……

（后面的证明还是较麻烦，当然也可用反证法，这里略去．）

 情况三：当∠EDG＝90°时．

 【法一】从上述第（2）①的证法一，可证得∠DBF＝90°，进一步，可得DG⊥AD．如下图示：

本小题类似，可得：

进一步，有：

由tan∠DEM＝tan∠GDH，得

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【法二】

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【反思】典型的分类讨论思想，并构造常见的“一线三等角”基本图形解决问题，注意体会解题思路.

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