2019年中考压轴系列——福建第25题（抛物线与直线相交、定点定线）

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2019年中考压轴－福建第25题

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【2019·福建】已知抛物线y=ax²+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a，c满足的关系式；

（2）设A为抛物线上的一个定点，直线l：y=kx+1-k与抛物线交于点B，C，直线BD垂直于直线y=-1，垂足为D．当k=0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC是等腰直角三角形．

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数k，都有A，C，D三点共线．

【图文解析】

（1）基本题，方法有多种，仅提供最简易的一种．

根据抛物线的图象特点，由”抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0）”可以确定抛物线的顶点为（2，0），从而抛物线y=ax²+bx+c(b<0)可以改写为y=a(x-2)²=ax²-4ax+4a，所以c=4a．

（2）①由“抛物线y=ax²+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点”，可设为y=a(x-h)²．由b<0知：a与h同号．

当k＝0时，直线l为y=1，此时直线l与y轴交于点（0，1），同时直线y=1与x轴平行，即对应的两交点B、C构成的线段BC∥x轴．根据抛物线的对称性，当△ABC为等腰直角三角形时，点A只能是抛物线的顶点，且x_A=1，所以抛物线的顶点坐标为（1，0），抛物线可改设为y=a(x-1)²．将（0，1）代入，得1=a(0-1)²，得a=1，所以抛物线的解析为y=(x-1)²．如下图示：

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【反思】

1．今年的这道压轴题的最后一问，与18年的何其相似……

【2018·福建】已知抛物线y＝ax²＋bx＋c过点A (0，2)．

(1)若点(－√2，0)也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；

(2)若抛物线上任意不同两点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)都满足：当x₁＜ x₂＜0时，(x₁-x₂)(y₁-y₂)>0；当0＜x₁＜ x₂时，(x₁-x₂)(y₁-y₂)＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．

①求抛物线的解析式；

②若点P与点O关于点A对称，且O、M、N三点共线，求证：PA平分∠MPN．

可打开下列文章阅读

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把“求证“与”已知“对调，如下：

18年：若点P与点O关于点A对称，PA平分∠MPN．求证：O、M、N三点共线，

19年：对于每个给定的实数k，都有A，C，D三点共线．求证：直线BD与直线y=-1互相垂直．

2．连续三年的福建中考倒一题，除了也“解析几何“有联系外，有太多的相似之处了……，

有兴趣的朋友可以打开下列文章阅读思考．

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