与45°相关的两道姐妹题欣赏

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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来源:微信公众号:初中数学延伸课堂

下面是曾经发布过的两道经典题，其中第一题原文是十题解法，朋友留言又提供了超过六种的解法.第二道可以是第一道的延伸拓展题，多种解法类似，值得回味：

试题一(2017九下福州质检第16题)

如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝ADC＝90°，BD平分∠ABC，∠DCB＝60°，AB+BC＝8，则AC的长＝________.

原文解法：

方法一：（计算繁，还需“巧算”，多数学生会想到，但解不出答案来很费时间）

方法二：取AB的中点O，连接OB，并过B点作BE⊥AC于E.

巧用“完全平方公式和面积公式”，计算还是有点繁，但刚才好多了。

方法三：延长BA和CD交于E点，易得：∠E＝30°，

显然解法简便多了。

方法四：利用直角，构造常用的辅助线

或：

方法五：利用直角，构造常用的辅助线

方法六：构造等腰直角三角形BDN，……

巧妙利用两等腰直角三角形相似，通过对应高的比等于相似比，得到答案.

方法七：将△BDE绕D点顺时针旋转90°得到△ADB'……，同时取AB的中点O，连接OB、OD，可得OA＝OB＝OC＝OD，从而A、B、C、D四点在同一圆上.……

方法八：类似于方法七

方法九：将△ABD绕D点逆时针旋转90°得到△CA'D……，同时取AB的中点O，连接OB、OD，可得OA＝OB＝OC＝OD，从而A、B、C、D四点在同一圆上.……

方法十：类似于方法九，……

为了凑齐十种图文解法，也将七和八、九和十分别分成两办法。当然也可以建立坐标系，用函数法（解析几何）进行解答，这里不再叙述.

下面是这篇文章留言（涉及到的解法超过6种）：

思考：进行下列变式，你能用上述的方法求出相应答案吗？试试看！

(1)若将”∠DCB＝60°“改为”∠DCB＝30°“呢？

(2)若将”∠DCB＝60°“改为”tan∠DCB＝1.5°“呢？

(3)若将条件”∠DCB＝60°“删除，补上：设AB=x，求AC的长y与x的函数关系.

(用上述方法均可以解答)

下面仅以其中的一种方法动态演示：

（原题）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为________．

——试题来源于网络

图文解析：

预备结论：∠BFO＝∠BCO＝45°，证明如下：

（有多种证法，下列提供七种证法）

证法一：由∠BOC＝∠BBF＝90°想到构造圆，取BC的中点M，连接OM和FM，不难得到：OM＝FM＝0.5BC＝BM＝CM，所以O、B、C、F四点均在以BC为直径的圆M上，从而不难得到：∠BFO＝∠BCO＝45°.如下图示.

证法二：由两角相等可证△BOG和△CEG相似，得到：BG:CG=OG:FG，即BG：OG＝CG：FG.

又由BG：OG＝CG：FG.与对顶角∠BGC＝∠OGF，可得△BCG和△FFG相似，从而得到∠BFO＝∠BCO＝45°.

证法三：在BE截取点H，使BH＝CF，连接OH（相当于将△COF绕O点顺时针旋转90°），不难证明：△BOH≌△COF，得到：OH＝OF，且∠BOH＝∠COF，进一步得到：∠HOF＝∠BOC＝90°，所以△HOF为等腰直角三角形，从而∠BOF＝45°.

证法四：过D点作DG⊥CF交CF的延长线于G点，连接OG，不难证明：DG∥BE，∠ODG＝∠OBE=∠OCF.

再证△BCE和△CDG全等，得到CF＝DG（下图示）.

因此，△COF≌△DOG，得到OF＝OG，∠DOG＝∠COF，进一步得到：∠FOG＝∠COD＝90°，所以△FOG为等腰直角三角形，得到∠OFG＝45°，从而∠BOF＝45°.

证法五：延长CF到G，使CG＝BF，连接OG（相当于将△BOF绕O点逆时针旋转90°），下面思路与证法三类似，试试看.

证法六：过A点作AH⊥BE于H点，连接OH（相当于将△BOF绕O点逆时针旋转90°），下面思路与证法四类似，试试看.

证法七：过O点分别作BE和CF的垂线，交BE和CF的延长线于M、N点，得到四边形OMFN是矩形.

再通过△BOM≌△CON，得到：OM＝ON，然后根据角平分线的性质（或正方形的性质）得到：∠BFO＝0.5∠MFN＝45°.

下面求OF的长：

解法一、二：

利用三角函数的定义（当然也可以用相似或勾股定理）可得：

(1)如下图示，过O点作OP⊥BF于点P.

显然这种解法，计算量较大.

(2)如下图示，过B点作BQ⊥OF于点Q.

这时的计算量就小多了。

解法三

解法四

解法五

解法六

解法七

与2017年福州九下质检第16的解法类似，也有相类似的解法.，这里不在重复，有兴趣的朋友，可以参考一下前面的相关小文章.

下面再提供一种用函数来解决的方法（法八）：

解法八建立如图如示的平面直角坐标系，，再延长CF交AD于G，容易得到：B（－3，－3），E（3，－1），C（3，－3），G（1，3）（其中G点坐标可通过△BCE≌△CDG得到），进一步求出直线BE和CG的解析式，联立两解析式可求得F点的坐标，最后在Rt△OFM中，根据勾股定理可求得OF的长.

接下来，将本题大胆变式，解法相类似，动脑思考一下.(前面用到全等，可能下面变式要用到相似)

变式1 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD的延长线上，且DE=3CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为________．

变式2 如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在DC的延长线上,且CE=3DE,连接BE.过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF,则OF的长为________．

变式3 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在直线CD上的一个动点，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF.设CE=x，OF=y，则y与x之间的关系为________．

(上述三个变式的解法均与原题相同，均有较多种解法.)

变式4 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在边CD上，且CD=2CE，连接BE．过点C作∠CFB=∠BOC，使F点在直线BE上，连接OF，则OF的长为________．

（若E点直线CD呢？若CE=x，OF=y，找出y与x的关系.）

(好好思考一下)

— END —

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