压轴解析｜函数与几何（1）—九上期末质检复习（2019版）

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压轴解析｜函数与几何（1）
——九上期末质检复习（2016-2017·南平）在直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（2，0），△OBC的面积记为S₁，过O、B、C三点的半圆面积记为S₂；过O、B、C三点的抛物线与x轴所围成的图形面积记为S₃，则S₁、S₂、S₃的大小关系是           ．（用“＞”连接）.

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【图文解析】结合图形（数形结合），如下图示：不难得到：S₂＞S₃＞S₁
  

答案：S₂＞S₃＞S₁

（2016-2017·宁德）如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y=6/x(x>0)图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（    ）A.越来越小 B.越来越大C.不变      D.先变大后变小【图文解析】法一：（通法）
       过B点作BC⊥PA于点C，设P(t，6/t），则有PA＝6/t，BC＝t，根据三角形面积公式，可得：S_△PAB＝0.5PA×BC＝0.5×6/t×t＝3（定值），因此答案应选C. 法二：（直接法）
       过P点作PD⊥y轴于D点，则四边形OAPD是矩形，显然S_矩形OAPD＝6（反比例函数的比例系数），而S_△PAB＝05·S_矩形OAPD＝3. （2016-2017·宁德）如图1，在矩形ABCD中，BC=4 cm．点P与点Q同时从点C出发，点P沿CB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q沿CD向点D以1 cm/s的速度运动，当点P与点Q其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，顺次连接A，B，P，Q，A得到的封闭图形面积为S cm²．
（1）当AB=mcm时，S与t的函数图象为抛物线的一部分（如图2），求S与t的函数关系式及m的值，并直接写出t的取值范围；（2）当AB=6cm时，探究：此时S与t的函数图象可以由（1）中函数图象怎样变换得到？ 【图文解析】
（1）抛物线解析的解析式的求法常用的有以下两种：法一：因顶点G(1,5)，可设S=a(t－1)²+5，再将E（2，4）代入，即可求出a的值，从而得到抛物线的解析式为：S=(t－1)²+5(0≤t≤2).法二：因抛物线的对称轴为直线x=1,点E (2，4),由抛物线的对称性知：抛物线必过点F（0，4），再用“三点式”求出抛物线的解析式.  求m的值时，可借助△ABC的面积解决：由于当t=0时，S＝4（利用抛物线的解析式）,此时S＝S_△ABC＝0.5AB×BC＝0.5×4×m，所以4＝0.5×4×m，解得m=2.（2）当AB=6时，如下图示：由图可知：
S＝S_矩形ABCD－S_△ADQ－S_△CPQ＝4×6－0.5×4(6－t)－0.5×2t×t=－t²+2t+12=-(t－1)²+13(0≤t ≤2)∴S与t的函数图象可以由(1) 中函数(S=(t－1)²+5)图象向上平移8个单位得到．

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（2016-2017·漳州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，点A在轴上，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²－7x+12的两个根，且OA＞OB.
（1）求cos∠ABC的值；（2）点P由B出发沿BC方向匀速运动,速度为每秒2个单位长度，点Q由D出发沿DA方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒(0＜t≤3)，是否存在某一时刻t,使△AOP与△QAO相似?若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由.【图文解析】
（1）方程x²－7x+12的两根为x₁=4，x₂=3.由于OA＞OB，所以OA＝4，OB＝3，如下图示：所以cos∠ABC＝OB/AB＝3/5.
（2）由已知得BP=2t，AQ=6-t，∵∠AOP=∠OAQ=90°，由于并没明确是如何相似（即尚未对应好）？所以要分下列两种情况：（Ⅰ）当点P在OB上时，0＜t＜1.5.如下图示： ∴①当OP/OA＝OA/AQ时，
　　△AOP∽△OAQ,②当OP/OA＝AQ/OA时，　△AOP∽△QAO,∴3－2t＝6－t 解得：t=－3（舍去）.（Ⅱ）当点P在OC上时，1.5≤t≤3，如下图示.∵∠AOP=∠OAQ=90°.
 ∴①当OP/OA＝OA/AQ时，　△AOP∽△OAQ,  此时方程没有实数根；②当OP/OA＝AQ/OA时，　△AOP∽△QAO,(2017-2018·宁德)如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为P.（1）若b=6，c=－5，求A，B两点的坐标；（2）过点P作PE⊥y轴于点E，若点A的坐标为（1，0），且四边形ABPE是平四边形，求b，c的值；（3）若b=7，且点A，B在点（1，0）与点（5，0）之间，求c的取值范围.【图文解析】
（1）常规题，简析如下：       直接将b=6，c＝－5代入y=-x²+bx+c得：y=-x²+6x－5.当y=0时，-x²+6x－5＝0，解得x₁=1，x₂=5，所以A（1，0），B（5，0）.（2）先画出符合条件的草图，如下图示：法一：设抛物线为y=-(x-h)²+k，由抛物线经过A（1，0）得：-(1-h)²+k＝0，即k=(1-h)²……(＊).
同时当四边形ABPE是平行四边形时，有AB＝PE，而AB＝2（x_P-x_A）=2（h－1），PE= x_P=h，所以2（h－1）=h，解得h=2，代入上式(＊)得：k=1，所以抛物线的解析式为：y=-(x-2)²+1，即y=-x²+4x－3，所以b=4，c＝－3.法二：直接由y=-x²+bx+c可得x_P=0.5b，再由AB＝2（x_P-x_A），且AB＝PE，可求b的值，最后再将A点坐标代入抛物线解析式，可得到c的值.（计算量相对大些）（3）此类问题最理想的解法是：结合图象（草图）进行分析——数形结合思想。当b=7时，抛物线为y=-x²+7x+c，其中抛物线的形状大小已经确定，对称轴也确定，因此当c改变时，抛物线相当于“顶点在直线x=3.5上进行平移，相应地抛物线在直线x＝3.5上随着顶点平移。如下图示：由图象可以得出，当点A，B在点（1，0）与点（5，0）之间时，抛物线必须符合两个条件：一是当x=1或5时，对应的函数值必须为负，二是抛物线与x轴有两个交点.因此有：
  所以-12.25＜c＜-10.【点评】第1、2两小题属于常规题，难度不大，熟练掌握相关概念和性质，不难求解，第3小题需结合函数图象进行求解，掌握特殊点（x=1或x=5）的函数值与抛物线与x轴交点间的关系是解决问题的关键。第3小题可拓展空间较大。 (2017-2018·泉州)已知一次函数y=kx－2√3的图象与x轴交于点A（－2，0），与y轴交于点B，点P的坐标为（0，m）.
（1）求k的值；（2）当m为何值时，△POA∽△AOB？（3）求√2PA+PB的最小值.【图文解析】（1）常规题，只需直接代入，即可求出，答案为：k＝－√3.（2）画出符合条件的图，如下图示，（由于本题中的两三角形相似已经对应好，答案相对简单些）显然两答案（点P和点P’）是关于x轴对称，如下图示：下面求解第一种情况的点P坐标，显然图中有常见的图形（子母Rt△形，即Rt△形斜边上的高），不论用三角函数的定义或相似或勾股定理，均可轻松求出（本公众号已有多篇文章分析），本文仅用三角函数的定义求解，其他方法略去.
由已知条件不难求得B（0，－2√3），且A（－2，0），得到OA＝2，OB＝2√3，可得tan∠ABO＝√3/3，如下图示，不难得到∠1＝∠ABO，因此tan∠1＝OP/OA＝tan∠ABO＝√3/3，得到OP＝OA×（√3/3）＝2√3/3.即m=2√3/3.
另一个答案为－2√3/3.（当然，本题直接利用相似三角形的性质求解，类似，也很简便）（3）分析：类似“求√2PA+PB的最小值”的最值问题常见的思路有两种，一是通过几何方法找出最值的点；二是通过建立函数，转化为求函数的最值问题.  本题可以通过几何方法找出最值的点（本公众号已有多篇文章解析），下面通过两种方法找出最值点，并求之.显然应先将“√2PA+PB”化为常规的“线段的和差问题”为此有以下两种解决办法.法一：因为√2PA+PB＝√2（PA+√2/2×PB），而PB在y轴上（“直”线段），√2/2容易想到45⁰的正余弦值，由此可以构造以PB为斜边的等腰直角三角形，因B点是固定的，因此可以先以B为45⁰的角的顶点，PB为一边向右侧（左侧也可，但会给书写带来麻烦）作等腰直角三角形PBC，另一边与x轴交于E点，如下图示： 不难得到：△OBE也是等直角三角形，OE＝OB＝2√3，得E（2√3，0）.此时有PC＝（√2/2）PB，因此问题就转化为求PA+PC的最小值.
     此时求PA+PC的最小值问题，只是个基本常规题，若过A点作AD⊥BE于D，则有PA+PC≤AD（根据“垂线段最短”），如下图示： 当P点与F点（AD与y轴的交点）重合时，PA+PC＝AD的值最小，此时AD可通过等腰直角△ADE求得，如下图示：         法二：直接将“√2PA+PB”转化为常规的两线段和，为此可直接作一个以A为直角顶点、PA为直角边的等腰直角三角形，为此可通过将PA绕A点逆时针旋转90⁰得到，如下图示：此时√2PA+PB＝PP’+PB.
     下面说明：当点P在y轴上运动时，点P’总是在经过点（0，2）且平行于x轴的直线上运动.  结合如下图示的辅助线，通过全等，不难证得y_P’＝MP‘=OA=2（定值），因此点P‘均在过（0，2）且平行于x轴的直线上.
进一步地，又可以得到：
PP’+PB≤BP’≤BK＝2+2√3.
即√2PA+PB≤2+2√3.因此所求的最小值为2+2√3. 下面通过建立函数关系，转化为求函数中的最值问题.法三：解析法（建立函数关系）直接求出其最值显然有困难，但可通过函数关系，转化为“判别式相关“，问题就能迎刃而解了，本公众号也有多篇相关”用判别式求解最值“的问题，如2017年福建倒一，判别式的妙用，等等（可点击标题直接打开）.【反思与拓展】1.熟练掌握特殊角的三角函数值，并利用三角函数定义解题往往带来计算方便，书写简练、思维（逻辑）层次也清晰.2.最后一可拓展为更一般情况，如可求出“mPA+nPB的最小值（其中m、n为任意正实数均可）“，均可用上述三种方法进行转化成常规的“线段和差的最值问题”，注意体会其中的解题思路.— END —文末点亮“在看”,突破压轴!

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