压轴解析｜纯函数（2）—九上期末质检复习（2019版）

（2017-2018·福州）已知二次函数y=ax²+bx+1/2(a>0，b<0)的图象与x轴只有一个公共点A.（1）当a=1/2时，求点A的坐标；（2）过点A的直线y=x+k与此二次函数的图象相交于另一点B，当b≥－1时，求点B的横坐标m的取值范围.【解析】题干解析：由题干“抛物线与x轴只有一个交点”，不难得到：△＝b²－2a=0，得到b²＝2a 及a= 0.5b²，同时有－b/(2a)=-1/b，而此时A点就是抛物线的顶点即A（－1/b，0），此时抛物线为y=0.5 b²(x+1/b)²，同时要注意条件a>0，b<0.（1）有了上述的分析，本小题不难得解：当a=1/2时，b²＝…＝1，又b＜0，得b=－1，－1/b＝1，所以点A的坐标为（1，0）.（2）由“过点A的直线y=x+k”知：将A（－1/b，0）代入可得0=－1/b+k，解得k=1/b，所以过A点的直线为y=x+1/b.将直线y=x+1/b与抛物线y=0.5 b²(x+1/b) ²联立，可得0.5 b²(x+1/b)²=x+1/b．移项，并因式分解，得(x+1/b)[ 0.5 b²(x+1/b)－1]＝0即(x+1/b)(0.5 b²x+0.5b－1)＝0因b<0，可得：x₁=－1/b，x₂=(2－b)/b²又因A（－1/b，0），所以B（(2－b)/b²，0）即m=(2－b)/b²同时因b<0，b≥－1，得－1≤b<0.因此本题就转化为求m=(2－b)/b²（－1≤b<0）的取值范围.（说明：如果本题用抛物线的一般形式与直线解析式联立，计算量相对较大）.       下面用三种方法求m的取值范围：       法一：直接法（标法）      （也可直接通过配方，进行求解，本质相同——参考答案解法，具体如下：） 法二：m=(2－b)/b²（－1≤b<0）

结合草图，不难得到，当t（ t≤－1）从大变小时，-t就从小变大（－t≥1），相应的抛物线的顶点就向右平移，直线也相应的向右平移（但始终经过顶点A），而此时a=1/（2t²）的值就就越来越小，即抛物线的开口越来越大，因此抛物线与直线的另一个交点B的横坐标m显然越来越大，因此m随t的增大而增大。

       又当t=－1时，m=…＝3，所以m的取值为m≥3.

（实际上B点纵坐标的取值范围也可类似求出）

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法三：比较法（初高衔接）
       由上述知：m=(2－b)/b²（－1≤b<0），任意取两个符合－1≤b<0的b的值，如-1≤b­₁< b₂ <0，m₁=(2－b₁)/b₁² ，m₂=(2－b₂)/b₂²_，因此在m=(2－b)/b²（－1≤b<0），m随b的增大而增大，而当b=－1时，m＝…＝3，所以m≥3.
【反思】法一是通法，常规解法，法二数形结合法，显然最容易，而且有很广的拓展空间，法三虽麻烦，但却通法，不论出现什么样的式子均可适用，体现初高衔接。（2017-2018·福州）如图，在△ABC中，AB：AC＝7：3，∠BAC的平分线交BC于点E，过点B作AE的垂线段，垂足为D，则AE：ED＝__________.
【图文解析】
    思路分析：从已知∠BAC的平分线和AE⊥BD这两个条件入手，不难得到下列常用辅助线（补形，常用，务必熟练掌握），如下图示：从而得到：
相当于BD：FD＝1：1，AC：CF＝3：4，由此可以得到至少12种以上的解法，即过上图中的任意一点添加任意直线的平行线（含所添加的点或线），再根据“平行线分线段成比例“定理，均可求出，之前本公众号九下尖子生培优系列(78) ——相似（3）已经做详细解析（可点击标题打开）.
       此处只提供过D点作平行线的两种最简便的解法，       如下图示：【反思】典型且常用的试题，充分利用“平行线分线段成比例“定理，务必熟练掌握并体会解题思路。（2017-208·福州）若二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b²－4ac=4，则∠ACB的度数为（　）（A）30⁰         （B）45⁰   （AC）60⁰       （D）90⁰  【图文解析】      设二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴两个交点为A（x₁，0）和B（x₂，0），则有x₁和x₂是方程ax²+bx+c＝0的两个根，若用求根公式可得： （当然，如果对“根与系数的关系”这个选学内容熟练，也可用求出）.过C点作CD⊥x轴于D，结合图象的草图（下图示，显然∠ACB的度数与点A和B的左右顺序无关），所以AD＝BD＝CD，因此不难得到∠ACD＝∠BCD＝45⁰，因此∠ACB＝90⁰.（答案选D）
【反思】由上述解析可知：当△≥0时，      如此这般的相关结论若能在理解的基础上熟练掌握（不可死记），显然在解题时会发挥很大的功效，更何况A、B、C三点均是抛物线中意味深长的最有意义、最有结论且务必理解透彻的三个特殊点. (2017-2018·南平)  如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象经过A（0，4），B（2，0），C（－2，0）三点.
(1)求二次函数的解析式；(2)在x轴上有一点D（－4，0），将二次函数图象沿DA方向平移，使图象再次经过点B. ①求平移后图象顶点E的坐标； ②求图象A，B两点间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.【图文解析】
（1）常规题：直接代入求出，或者依题意知顶点为（0，4），可得y=ax²+4，再将B或C点坐标代入，求得a=-1，所以抛物线解析式为：y=－x²+4.（2）由点D、A的坐标，不难求出直线DA为y=x+4，因将二次函数图象沿DA方向平移，顶点仍然在直线DA上，则可设平移后的顶点E（m，m+4），此时抛物线的解析式为：y=－(x-m)²+m+4.   又因平移后的抛物线经过点B，所以可将点B（2，0）代入对应的解析式，即：－(2-m)²+m+4＝0，求得m的值为m=0(不合题意，舍去)或m=5，所以E（5，9）.①上述已经解析，E（5，9）.②如下图示：下图中的阴影部分面积就是所求的面积.显然直接计算，初中阶段无能为力，因此必须通过转化，如下图示：
根据抛物线的对称性和平移的性质，显然上图中的两个阴影部分的面积相等.所以所求的阴影部分面积，就可以转化为平行四边形ABGE的面积，如下图示：
连接BE，由于四边形ABGE为平行四边形，可根据S_{四边形ABGE}＝2S_△ABE进行求解，不必求出G点坐标。（当然也可根据平移特征：A（0，4）→E（5，9），对应地B（2，0）平移后的点G应为（7，5），再求平行四边形的面积）.
求解△ABE的面积方法多种，本公众号中的“2017年福建倒一“（点击标题直接打开）中的最后一小题，提供六种在坐标系中求面积的方法，其解题思路均是“化斜为直”，“化一般为特殊”，利用点的坐标特点，得到相关的线段和距离，进一步得到所求的面积.
    对于本题，下面仅提供一种最快，且计算量最小的解法，有兴趣的朋友可以打开上述的链接查看其他解法.   过B作y轴的平行线交直线DA于M点，不难得到M（2，6）.如下图示：则有S_△ABE＝S_△BMA+S_△BME
=0.5BM×h₁+0.5 BM×h₂ =0.5BM(h₁+h₂)=0.5y_M·x_E=0.5×6×5＝15.所以四边形ABGE的面积为2×15＝30，从而所求的面积为30.【反思】本题解析中，充分利用的转化思想：不规则图形的面积转化为规则图形面积，“斜化直“等，在压轴题中经常通过这样转化得以解决，务必要引起特别重视.【拓展】若平移后的抛物线与x轴相交的右交点为F，且∠AFE＝45⁰，求F点坐标.（试试看！）（2017·厦门）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在抛物线y＝x²＋bx＋c（b＞0）上，且A（1，－1），（1）若b－c＝4，求b，c的值；（2）若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，则命题“对于任意的一个k（0＜k＜1），都存在b，使得OC＝k·OB.”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例；（3）将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过（1，－1），点A的对应点A₁为（1－m，2b－1）.当m≥－3/2时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标.【解析】（1）简析：直接将A（1，－1）代入，再与已知b－c＝4联立，得到二元一次方程组，解之即可.过程如下：       依题意，把（1，－1）代入y＝x²＋bx＋c，可得b＋c＝－2，又因为b－c＝4，可得b＝1，c＝－3.  （2）由“该抛物线与y轴交于点B”得到B（0，c），从而OB＝|c|，再由“其对称轴与x轴交于点C”，得到C（－0.5b，0），从而OC＝|0.5b|＝0.5b（因b>0——已知）.       同时由（1）知：b＋c＝－2（抛物线过A（1，－1）），得到c=－2－b＜－2＜0，因此OB＝|c|＝－c=2+b.       若命题“对于任意的一个k（0＜k＜1），都存在b，使得OC＝k·OB.”正确，则有：当0＜k＜1时，0.5b＝k(2+b)（b>0）均成立，即（整理，得）(1－2k)b=4k成立.同时不难通过检验，当k=1/2时，也不能满足OC＝0.5OB.
  综上知，当0＜k<0.5时，才能存在b，使OC＝k·OB，因此原命题是不正确，可取0.5≤k<1中的任意一个k的值说明即可.如取k=0.5，当k＝0.5时，由OC＝0.5OB得0.5b＝0.5（2＋b），此时b的值不存在.又如取k＝3/4，当k＝时，由OC＝3/4OB得0.5b＝3/4（2＋b），此时b＝－6＜0不合题意.    所以对于任意的0＜k＜1，不一定存在b，使得OC＝k·OB .（3）由题中平移前后的对应点A（1，－1）和A₁（1－m，2b－1）可知抛物线的平移规律（这两点的横纵坐标如何变化，对应平移前后顶点的横纵坐标也相应地同样的变化），因此若设平移后的抛物线的解析式为y=(x－h)²+k，则原抛物线的解析可设为y=(x－h－m)²+k－2b. （强调：此处万不可写错，平移后的顶点为（h，k），平移前的顶点为(h+m，k－2b)，应检查对应前后横纵坐标变化情况，与点A₁、A横纵坐标变化是否一致.）       于是本题就转化为：当k最大时，对应的顶点坐标（h，k）.       由于平移前后的抛物线均经过A（1，－1）点，显然代入上述均成立，因此有：【反思】厦门的试题，真的很有深意，仅是平移就能考出这么有“味道”的试题，学习和解析厦门的试题收获甚多.本文的解法，仅是本人的一个思路，不足之处，请朋友们（尤其是厦门的朋友）多指教，谢谢！

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