中考压轴｜纯代（函）数系列（4）

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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【例1】已知抛物线C₁：y=ax²﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C₁一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；　 ②将抛物线C₁沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C₂，直接写出C₂的表达式；（3）若（2）中抛物线C₂的顶点到x轴的距离为2，求a的值．

图文解析（1）常规题，不做详解.答案如下：将a=1代入解析式，得：y=x²﹣4x﹣5=(x﹣2)²﹣9，∴对称轴为直线x=2；∴当y=0时，(x﹣2)²﹣9=0x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；

（2）①先观察动态演示：（自动演示）

（观察动画，可知抛物线经过两定点）下面分析两定点如何求出？法一：由y=ax²﹣4ax﹣5＝ax（x﹣4）﹣5得：当ax（x﹣4）=0，即x=0或x=4时，y的值恒定为﹣5.由此可得：抛物线C₁一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）.法二：将y=ax²﹣4ax﹣5整理得：x（x﹣4）a＝y+5，即整理成关于a的一元一次方程一般形式，根据定点的定义，不论a为何值，这个等式均成立，所以可根据“0乘以任何数都等于0”得到：x（x﹣4）＝0且y+5＝0，从而得到两定点坐标.法三：也可先取a的两特殊值，写出两抛物线的解析式，再联立求出交点坐标，再将求出的交点代入验证。小结：法一，对本题而言最快，但不能用，对于非特殊形式的解析式（如三个系数均含参且不成比例）无法直接得到，上述的第二、三种为通法，对于任何求定值问题的试题均可适用，法三虽麻烦，但也是最好理解的，计算量较大，因此取特殊值有些技巧，因此建议用第二种方法。

②如下图，过两个定点的直线为y=﹣5；

法一（最快解法）：将抛物线C₁沿y=﹣5翻折，得到抛物线C₂，开口方向变了，但是对称轴没变；即a变为－a，对称轴仍然为x＝2，相应地C₂中的一次函数应为+4a，所以抛物线C₂解析式为：y=﹣ax²+4ax﹣5.法二（常规解法）：抛物线C₁配方得：y＝a(x﹣2)²﹣4a-5，得顶点坐标为（2，-4a-5），关于直线y=-5（两定点所在的直线）对称后的抛物线C₂，的顶点坐标为（4a-5），如下图示.

反思：此法对本题来说虽麻烦，但它是通法，只需已知顶点和a的值，即可得到函数解析式.

（3）当抛物线C₂的顶点到x轴的距离为2，显然有两种可能，如下图示：

方法一：直接利用上述的结论：顶点坐标为（4a-5），依题意，得4a-5＝2或4a-5＝-2，解得：a=7/4或a=3/4.方法二:抛物线C₂的顶点到x轴的距离为2，则抛物线过（2，2）或（2，-2）（就是顶点坐标）.当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得a=7/4；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=3/4.∴a=3/4或7/4.

【例2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²﹣4x＋3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，与直线BC交于点N(x₃，y₃)，若x₁＜x₂＜x₃，结合函数的图象，求x₁＋x₂＋x₃的取值范围．

【图文解析】（1）容易求得A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）由B、C的坐标，待定系数法可以求得直线BC的解析式为y＝﹣x＋3．(2)顶点式为：y＝x²﹣4x＋3＝(x﹣2)²﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2，分析满足.x₁＜x₂＜x₃的直线l所在位置.图解如下：

【反思】本题难度比较小，但是给了一种探究动点问题的一般方法，平移直线l寻找到各种可能的位置.本身因为x₁＜x₂_，所以实际上，只需要寻找Q和N的位置就能更快找到答案.

【例3】

图文解析：（1）常规题，不做详解，简析如下：把点A（－1，0）代入抛物线的解析式y=x²+bx－3，得0=1－b－3，解得b＝－2，所以所求的解析式为y=x²－2x－3，通过配方得到y=(x－1)²－4，得到顶点坐标为（1，－4）.（2）题干分析：由条件“P(m，t)为抛物线上的一个动点”可得到m与t的关系为:t=m²－2m－3（函数的本质），动点的位置不同体现m值的变化；
由条件“P关于原点的对称点为P'”可得P’的坐标可表示为 (－m，－t).

观察动画演示（自动演示，不可点击）

①由条件“当点P' 落在该抛物线上时”可知：点P'的坐标(－m，－t)满足该抛物线的解析式（函数的“灵魂”），即－t =(－m）²－2(－m)－3，整理得：－t=m²+2m－3.结合题干得到的结论（t=m²－2m－3）和①的分析得到的结论（－t=m²+2m－3），将两等式相加，可得：2m²－6＝0即m²＝3，解得：

②由“当点P' 落在第二象限内”知:P' (－m，－t)的坐标应满足－m＜0且－t>0，即m>0,t<0.同时由于抛物线开口向上，顶点坐标为（1，－4），所以t＞－4，因此－4≤t＜0.

求P' A²的平方：可添加如下图所示的辅助线，根据勾股定理可得到P' A的平方与m或t之间的函数关系.

【例4】已知函数y=﹣x²+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是　　．A.0 B.1 C.2 D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）²的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

【图文解析】
整体感知，动态演示（自动演示）

（1）简析：由△=(m-1)²+4m=(m+1)²≥0知：则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；

（2）简析：配方得：

所以不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）²的图象上.

即顶点的横纵坐标满足y=（x＋1）²，所以不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）²的图象上.

结合图象，不难得：则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤w≤4．

【例5】如图，一次函数y=k₁x+5（k₁＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y=k₂/x（k₂＞0）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．（1）求k₂﹣k₁的值；（2）若AM/AN=1/4，求反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．

【图文解析】（1）简析：如下图示：