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【例1】如图,正方形ABCD中,E是BD上一点,AE的延长线交CD于F,交BC的延长线于G,M是FG的中点.(1)求证:①∠1=∠2;②EC⊥MC.(2)直接写出:当∠1等于多少度时,△ECG为等腰三角形.
【图文解析】(1)①根据”正方形(是特殊的菱形)的对角线平分一组对角”可得∠ADE=∠CDE,然后利用SAS可证得△ADE≌△CDE,得到∠1=∠2.如下图示:②根据“两直线平行(AD∥BC),内错角相等”可得∠1=∠G,再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得MC=MG,进一步得到∠G=∠3,且∠1=∠2(上述①的结论),所以∠2=∠3,因此可得到:∠ECM=∠2+∠4=∠3+∠4=∠DCG=900,从而EC⊥MC,如下图示:(2)如下图示,根据题意,不难得到∠ECG=∠2+∠DCG>900,因此若三角形ECG是等腰三角形,只能是CE=CG,即只能∠G=∠5这一种情况.若设∠1=∠2=∠G=∠5=x0,则在△CEF中,可得到∠6=∠2+∠5=2x0,进一步,得到:(如下图示)x+2x=90,解得:x=30.即当∠1=300时,△ECG为等腰三角形.【拓展1】正方形ABCD中,E是BD上一点,AE的延长线交CD的延长线于F,交BC于G,M是FG的中点.
(1)画出图形,并证明:①∠DAE=∠DCE;②EC⊥MC.(2)直接写出:当∠DAE等于多少度时,△ECG为等腰三角形.【答案】符合条件的图形如下:
(1)思路与例题类似;(2)∠1=600.【拓展2】正方形ABCD中,E是BD的延长线上的一点,直线AE交直线CD于F,交CB的延长线于G,M是FG的中点.(图中的∠1为∠DAG.
(1)画出符合条件的图形,并解答下列问题:①找出∠DAG与∠DCE的有关系;②EC与MC的位置关系.(2)直接写出:当∠DAG等于多少度时,△ECG为等腰三角形.【答案】符合条件的图形如下:
(1)思路与例题类似;结论∠1+∠2=1800;(2)∠1=1500.【拓展3】正方形ABCD中,E是BD的延长线上的一点,直线AE交直线CD于F,交CB的延长线于G,M是FG的中点.直接写出:当∠BAF=______度时,△ECG为等腰三角形.(请先画出符合条件的图形)
【例2】如图,正方形ABCD中,M为BC上除点B、C外的任意一点,△AMN是等腰直角三角形,斜边AN与CD交于点F,延长AN与BC的延长线交于点E,连接MF、CN.(1)求证:BM+DF=MF;(2)求∠NCE的度数.
【图文解析】(1)此类问题常用解法是:“取长补短”法,延长CD至G使DG=BM,将BM+DF转化到一条线段GF上,如下图示:先证明△ADG≌△ABM,得AM=AG且∠1=∠2,进一步,得∠DAM=∠2+∠DAM=∠1+∠DAM=∠BAD=900.又因△AMN是等腰直角三角形,可得到∠3=450,又可得∠3=∠4=450,如下图示:可证得△AMF≌△AGF,所以MF=GF.综上,可得BM+DF=MF.当然本题也可通过“旋转”(即将△ABM绕A点逆时针旋转90度),得到△ADG,证法类似.(2)由于∠AMN=900(△AMN是等腰直角三角形),不难得到如下图示的“辅助线”,即过点N作NH⊥EB于H,如下图示:不难证得△MHN≌△ABM,得到NH=BM,AB=MH=BC,进一步MH=CM+CH=CM+BM=BC,又可得到CH=BM,因此NH=CH,从而得到△CHN是等腰直角三角形,因此∠NCE=450.【拓展1】正方形ABCD中,M为CB延长线上的任意一点,△AMN是等腰直角三角形,斜边AN与BC交于点E,与DC的延长线交于点F,连接MF、CN.请画出符合条件的图形,并解答:
(1)求证:DF-BM =MF;(2)求∠NCE的度数.【解法提示】符合条件的图形如下:
【拓展2】如图,正方形ABCD中,M为BC延长线上的任意一点,△AMN是等腰直角三角形,斜边AN与直线BC交于点E,与CD的延长线交于点F,连接MF、CN.请画出符合条件的图形,并解答: (1)求证:BM-DF=MF;(2)求∠NCE的度数.【解法提示】符合条件的图形如下:
解法与答案均与原题相同.【例3】如图,在正方形ABCD中,点E在边AB上(点E与AB不重合),FGDE,FG与边BC相交于点F、 与边DA的延长线相交于点G.猜想 BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系?并证明你所得到的结论.
【图文解析】
三条线段(BF、AG、AE)均不在同一直线上,直接证明显然不可能,要想方设法让它们产生联系,尽量将其中两线段转化为同一直线上的一条线段,或者三条线段转化为同一个三角形中(这是解类似相关试题最常用的方法),然后通过全等或特殊三角形的相关结论进行证明。由于四边形ABCD为正方形,本身有着非常重要的结论,具备平移和旋转的相关性质,因此可以通过平移、旋转等方法将线段转化.方法一:添加如下图(左)示的辅助线(相当于将线段BF向左平移,得到BF+AG=MG,接下来,再想方设法求出MG与AE的关系.如下图(右)不难证得△DEG和△FMG全等,得到AE=MG,从而BF+AG=AE.方法二:过A点作AH∥FG交BC于G点(相当于将线段FG向上平移).
方法三:延长DA至H,使AH=AE(相当于将△ADE绕A点顺时针旋转90°得到△ABH).如下图示.方法四:纯计算法(适合九年级),如下图示,不难证得:∠1=∠2=∠3.
分别在Rt△ADE和Rt△ACE和Rt△EFB中,
方法五:可建立如下图示的坐标系,若不用九年级的方法,可能通过三次勾股定理,求得:AD=a^2/b,再通过G、E点求出直线GE的解析式,进一步得到F的坐标,因此AG、BF、AE的长均可以a、b的代数式表示,…….(此法显然麻烦,但对对有关矩形、正方形、网格的类似试题等非常适用,解法通俗易懂,多数情况下解法还是最方便和快捷的(本文之前也类似的小文章).反思与变式:(1)在解相关矩形与正方形的问题时,通常可通过平移、旋转、对称的方法帮助解决,也可通过建立坐标系或三角函数进行解决,而往往用三角函数法解决起来最便捷。(2)变式1:若将试题中的”点E在边AB上“,改为”点E在直线AB上“,也同样有类似的结论(解法类似(但需要用到相似,试试看!).
下面仅分别各给出一种不同的解题思路:结论:BF-AG=AE.结论:AG-BF=AE.
变式2 若将原正方形改为“两邻边AB:AD=m:n”(m、n为常数)的矩形“呢?下图示.(适合九年级,思考一下!)
结论:AG+BF=m/n×AE.
当然,如果让点EAB的延长线或BA的延长线上,则:
结论:BF-AG=m/n×AE.结论:AG-BF=m/n×AE.
【例4】如图,点C在线段BG上,四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,面积分别是10和19,则△ADE的面积为 .
【图文解析】
思路1:
思路2:
思路3:
思路4:
【例5】如图,正方形ABCD中,AB=4,点E是对角线AC上的一点,连接DE.过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接AG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)求AG+AE的值;
(3)若F恰为AB中点,连接DF交AC于点M,请直接写出ME的长.
【图文解析】
(1)解法多种仅提供一法(根据正方形的对称性)
(2)
得AG+AE=AC=√2AD=4√2.
(3)
【例5】如图,正方形ABCD的边长为4,取AB边上的中点E,连接CE,过点B作BF⊥CE于点F,连接DF.过点A作AH⊥DF于点H,交CE于点M,交BC于点N,求MN的长.
【例6】如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是AD,CD上两点,BE交AF于点G,且DE=CF.
(1)写出BE与AF之间的关系,并证明你的结论;
(2)如图2,若AB=2,点E为AD的中点,连接GD,试证明GD是∠EGF的角平分线,并求出GD的长;
(3)如图3,在(2)的条件下,作FQ∥DG交AB于点Q,请直接写出FQ的长.
【图文解析】
法二:
由三角形面积公式,得AG=AB×AE/BE=2√5/5.从而DM=AG=2√5/5,所以DG=√2DM=2√10/5.
(3)如下图示,由(2),得
法一:过点G作GH∥AB将FQ于点H.
法二:如下图示:
法三:
又有FQ=DM,再由勾股定理,得DM的长,从而得到FQ的长.
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