教学研讨｜ 10.1.3古典概型（2019版新教材）

请关注阳光备课 2023-02-05

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▍来源：网络

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

主要内容是由实例归纳古典概型的特征、古典概率的定义、古典概型中简单随机事件概率的计算等，古典概型是最简单的概率模型，也是高中概率课程重点研究的概率模型，除了自身的应用外，由于古典概型比较简单，便于解释相关概念，有利于学生体会概率的意义，因此概率的基本性质、事件的独立性、条件概率都是通过古典概型的实例，采用由特殊到一般的方法来认识的，通过本小节的学习，重要的是了解建立概率模型的一般方法，提高数学抽象及数学建模的素养，

10.1.3古典概型

古典概型是最简单的概率模型，也是高中阶段重点研究的概率模型，通过古典概型的学习，学生进一步理解随机事件和样本点的关系、事件和样本空间的关系、概率的意义，掌握研究概率模型的一般性思路.古典概型也为研究概率的基本性质提供了具体案例的支撑.

1.研究思路

提供简单的随机试验，通过设置思考问题，引导学生归纳试验的共同特征，并依据已有的经验思考如何定义相关事件的概率，再给出定义.通过这个过程，提升学生的数学抽象和数学建模素养.

2.古典概型样本点等可能性的判断

判断样本点的等可能性，首先要考察问题表述中所含的信息，例如，抛挪“质地均匀”的硬币，抛挪一枚“质地均匀”的殷子，从n个“大小质地完全相同”的球中随机摸出一个球，等，这样的表述本身含有基本结果的等可能性.其次，对有些试验，为建立理论模型，等可能性是一种假定，例如，假定生男孩和生女孩是等可能的，随机调查一个人的出生月份，假定出生在每个月份是等可能的.另外，对于两次或多次重复试验，利用二维表或树状图表示试验的所有结果也有利于对基本结果等可能性的判断.

对于“等可能性”，教学中必须给予足够的重视，要通过具体实例加强辨析.

案例1 摸球试验样本点等可能性的分析

从含有3个红球和2个黄球的盒子中随机摸出2个球，求事件A=“两次都摸到红球”的概率.为保证基本结果的等可能性，首先要对5个球进行编号（如3个红球编号为1,2,3,两个黄球编号为4,5),两次摸球的结果用数对（x,y)表示.

(1)对于有放回摸球，类似于例8抛挪两枚骨子的试验，必须区分摸球的次序，例如，将(1,2)与（2,1)看成不同的样本点，否则不能保证样本点的等可能性.样本空间包含25个等可能的样本点，而事件A包含9个样本点，所以P(A)=9/25

(2)对于不放回摸球，可以区分摸球的次序，样本空间Ω₁包含20个等可能的样本点（见下页表）,其中事件A包含6个样本点，P(A)=6/20=3/10,也可以不考虑摸球次序，将Ω₁中的样本点两两合并，得到包含10个样本点的样本空间Ω₂,这10个样本点仍然是等可能的，同样求得事件A的概率为3/10，计算事件A的概率时，既可以认为是依次摸出两个球，也可以认为是同时摸出两个球，结果没有差异。

3.例题的设计意图

例7以四选一选择题为背景计算猜对答案的概率问题，结果很显然，设计的目的是列举试验的样本空间，熟悉用数学语言表达解题过程，通过对多选题猜对答案的问题思考，体会概率越小，猜对答案越难.

对有A,B,C,D四个选项的多选题，如果至少有一个选项正确，所有可能的选择有15种：A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD.其中正确的选择只有一个，所以猜对答案的概率为1/15，相比单选题猜对答案的概率0.25要小得多，所以多选题猜对答案更难，这个问题还可以这样思考：对A,B,C,D四个选项，每个都等可能地选对或错，共有2⁴=16种选择，除去全错的选择，所以有15种等可能的选择.

例8和例9代表了最常见的两类古典概型，分别归结为放回摸球和不放回摸球模型，意图通过对比它们的共同点和不同点，突出对样本点等可能性的判断，许多古典概型问题都可以用“球一盒模型”表述.其好处是容易理解样本点的随机性和等可能性，如重复抛挪硬币、重复抛挪骨子、调查6个人的出生月份等，都可归为放回摸球试验；从5个人中任选2人、从N件产品中任取n件等，都可以归为不放回摸球试验.

例10通过一个极端特殊的例子，对有放回简单随机抽样、无放回简单随机抽样和比例分层随机抽样，计算极端样本发生的概率，通过比较这个概率的大小，说明用样本估计总体时，按比例分层随机抽样效果最好，而无放回抽样比有放回抽样效果好.

下面的案例供大家参考.

案例2在不同的抽样方式下，用样本均值估计总体均值的估计效果的比较

四名学生a,b,c,d一周内体育锻炼时间（单位：h)用t表示.t(a)=5,t(b)=6,t(c)=7,t(d)=8.将这四名学生的锻炼时间看作总体，总体均值为6.5 h.随机抽取两名学生，用这两名学生平均锻炼时间估计总体的平均锻炼时间.

(1)采用有放回方式抽样，共有16种等可能的样本，样本均值如下表所示

样本均值的可能取值与对应的概率分布为

(2)采用无放回方式抽样，共有12种等可能的样本，样本均值如下表所示

样本均值的可能取值与对应的概率分布为

(3)假设a和b是女生，c和d为男生，采用比例分配的分层随机抽样，共有4种可能样本(a,c),(a,d),(b,c),(b,d).样本均值工的可能取值与对应的概率分布为

如果考虑样本均值与总体均值误差不超过0.5的概率P(6≤≤7),那么有放回抽样为P(6<≤7)=,无放回抽样为P(6≤≤7)=5,比例分配的分层随机抽样为P(6≤≤7)=1.

因为层内差别小，而层间差别大，可见在相同的样本容量、样本均值与总体均值误差不超过0.5的前提下，比例分配的分层随机抽样的概率最大，无放回抽样次之，有放回抽样最小.

二、目标和目标解析