北师大版 八年级数学下册 4.1《 因式分解》 知识点精讲
扫码查看下载 全部资源 |
2.2 不等式的基本性质
知识点总结
北师大版八年级数学下册第四章4.1 因式分解
因式分解
1. 因式分解的概念：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的关系
因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。
注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。
3. 公因式
多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。
系数——取各项系数的最大公约数；
字母——取各项都含有的字母；
指数——取相同字母的最低次幂。
例如：多项式 pa+pb+pc 中因式 p 即为多项式各项的公因式。
因式分解的方法
一、运用公式法
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：
a² - b² = (a+b)(a-b)
a² + 2ab + b² = (a+b)²
a² - 2ab + b² = (a-b)²
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。
1. 平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式，即 a² - b² = (a+b)(a-b)
2. 完全平方公式
两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。即 a² + 2ab + b² = (a+b)² ；a² - 2ab + b² = (a-b)²
注意：
① 项数为三项；有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；有一项是这两个数的积的两倍。
② 当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
③ 完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
④ 分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
二、因式分解
1. 因式分解时，各项如果有公因式先提公因式，然后再进一步分解。
2. 因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
三、分组分解法
如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
例如 am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
但如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。
所以原式= (am+an) + (bm+bn) = a(m+n) + b(m+n)。
再看，这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式
= (am+an)+(bm+bn) = a(m+n)+b(m+n) = (m+n)(a+b).
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
四、提公因式法
公式 x² + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q) 的因式分解过程：
五、分式的乘除法
1. 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2. 分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式。
3. 如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分。
4. 分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如 x-y=-(y-x)， (x-y)²=(y-x)²， (x-y)³=-(y-x)³。
5. 分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理。当然，简单分式的分子分母可直接乘方.
6. 注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.
六、分数的加减法
1、一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备。
2、通分的依据：分式的基本性质。
3、通分的关键：确定几个分式的公分母。通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
4、类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
5、同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
6、异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
7、同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号。
8、对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分。
9、异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化。
10、作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式。
七、含有字母系数的一元一次方程
引例：一数的a倍(a≠0)等于b，求这个数。用x表示这个数，根据题意，可得方程 ax=b(a≠0)
在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。
图文解析
北师大版八年级数学下册第四章4.1 因式分解
图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删