揭秘大牛陈杲们自学数学用的高效方法

Original 老吴老吴数学工坊 2022-07-16

看山是山,看水是水;

看山不是山,看水不是水;

看山还是山,看水还是水。---禅宗三境界

陈杲（gao)，14岁考入中科大，26岁攻克世界难题，解出陈秀雄和唐纳森独立提出的J方程以及丘成桐等人提出的超临界厄米特-杨振宁-米尔斯方程的变形，在厄米特-杨振宁-米尔斯方程和凯勒-爱因斯坦方程之间建立起了桥梁，现任中科大几何与物理研究中心特任教授；

李路珂，两次跳级，15岁参加高考，以657的高分荣获湖南省“高考状元”，考上清华大学，20岁读博士，为清华当时最年轻的女博士生，35岁成博士生导师；

蔡笑晚，他的6个子女中有5位博士1位硕士。

长子蔡天文，美国康奈尔大学博士毕业，36岁即成为美国宾西法尼亚大学最年轻的终身教授，还担任美国国家基金会的论文审查工作，2008年荣获世界统计学“诺贝尔奖”——“考普斯总统奖”；

次子蔡天武，14岁考入中国科技大学少年班，19岁时考上诺贝尔奖获得者李政道主办的CASPEA留美博士班，25岁获得美国罗切斯特大学博士学位；

六女蔡天西，14岁进入中国科学技术大学少年班，18岁成为麻省理工学院博士生，22岁获得哈佛大学博士学位，28岁时成为哈佛大学最年轻的副教授，她指导的博士生比她大12岁，30多岁时成为哈佛大学终身教授。

以上列举的这些大牛，共同之处很多，我总结其中最核心的三点：

首先，他们背后都有一个非常有主见，有非常独特、高效和先进教育理念，并且能坚定执行的父亲--陈钱林，李永生和蔡笑晚；

其次，这些牛爸们教育学习理念的核心都包含了“自主学习”；

最后，经过老吴细心观察、追根溯源和对比归纳，惊人发现这些大牛提前自学数学时，采用的竟是同一种方法。

虽然他们书里对这方法很多只大概描述，点到为止，但你看完我这篇文章，你会发现他们的提前自学数学的方法理念内核是完全一致的。

我用在《从小学开始，给孩子打造“数学自学能力”绝技》一段话形象描述下，他们高度默契、统一采用的高效学习方法，同时也是我今天要详细揭秘的，跟传统校内学习反差很大的提前自学数学的神器--框架学习法：

“建房子总是要先建好框架，从下往上一层一层地砌，全部砌好了再进行内外装修的，哪有砌一层装修一层的道理?

如果砌好了第一层就马上进行装修，表面看来第一层变得漂亮了，但却耽误了整个工程进度，得不偿失啊!

学习也是这样，如果刚学了初中一年级的数学，就去做相关中考题甚至奥赛题，看起来好像学得多、学得踏实，甚至短期内可考较高分数，暂时收到了急功近利的效果，但却割裂了知识结构中的部分与整体的联系，长远看来，却是耽误了整个学习进度，同样得不偿失!”

这方法特别适用于初高中数学的提前自学，下面就让老吴来揭开框架学习法神秘的面纱。

一框架学习法的基本理念

框架学习法的基本理念是：

学习快一点，回头少一点，偶尔漏一点；

学习如盖楼，封顶再装修；

主张的是在知识的前进中化解学习负担；

主干挺拔而结实，分支再多也不会喧宾夺主。

我们传统校内的教育叫“超慢式教育”。

因为慢，所以让孩子“嚼”——嚼来嚼去，题海战术、原地转圈。就像骑车，太慢反而不稳，容易摔倒。

有些时候在一节课的内容上嚼来嚼去，生怕学生领会不深，美其名曰“巩固”。

虽然主观上是希望学生养成认真刻苦不要遗漏的好习惯，但客观上却让很多学生心力疲惫。

打个比方，孩子打电子游戏都喜欢往前冲，要是有个城堡他老冲不过去，他就干脆不喜欢不再玩这个游戏。

某种意义上在学习方面，要让孩子看到前面的城堡，看到新鲜的东西，让孩子有点征服意识，有点“殖民”意识，有点武侠好汉的思维方式，这样他的学习就总是想前进、在前进。

二框架学习法的三个阶段

第一阶段：骨架学习——建框架结构

骨架学习——观其大略，不求甚解（快而不难）

按照各个单元，分别把基础概念、公式以及基本题目挑选出来学习。

在学习几个单元之后要对前面所学的内容进行复习、检查。

这时要把做错的题目，没有记住的公式和概念等标示出来再学习一遍，以骨架题为中心，事先把一个学期的内容快速学习一遍，这样等在下一轮专题学习的时候，之前的概念也可以踏踏实实地学一遍，这样会收获更大，理解更清楚。

只学习那些构成学习内容骨架的基本概念，基本公式、基本题目。筛选出基本的概念和公式扎实理解，再反复练习基本题目，其它的东西可以忽略过去。

孩子能了解一个单元中最重要的内容和题目，并快速学习一遍的话，他就会觉得数学变得简单有趣多了，很可能会忍不住发出这样的感叹：

“原来这个单元就是讲这个啊！”

“最重要的概念是这样的！”

“重要概念原来是以这样的方式来出题的啊！”

只筛选出核心内容快速学习一遍，这样还有两个优点：

第一，学习数学的时间大幅减少，一周之内可以完成几个单元的进度。本来要学习一个学期的内容一个月左右就能完成。

第二，可以了解整个课程的重点是什么。也可以在知识的前进中化解难度。知识积累的越多，往后学习越容易。

第二阶段：专题学习——砌砖

专题学习——纵横交错，浑然一体

专题学习中所选的题目力求精，有代表性，具有相当的典型性，要“做一题会一类”。

对典型题目要讲清楚的三个问题：

这个题怎样解？

为什么这样解？

是怎么想到这样解的？

应该讲清楚这三个问题，同时注意“一题多解、多解归一、多题归一”。

第三阶段：习题集学习——精装修

习题集学习——畅游题海，高能高分

最好选定两本水平差不多习题集。

最好不要采取做完一本习题集再去做另一本习题集的方式。这样做的话，做过的难题很容易忘记。

最好能够在学习的时候采用“Z”字形的方式在两本习题集之间游走。

这样在两本习题集之间来来回回地学习的话，很容易就能区分出难题之中的重要题目（大部分都是重复出现的题目）。

在此过程中，遇到不懂的部分，要去查相关的低年级教科书或辅导书，一直追查到再也没有不懂的东西为止，即“追根究底式”学习法。

学习过程中要注意两个要点：

（一）知识的结构化：

框架式学习要注重知识的结构化。

知识只有结构化,才能融会贯通,举一反三;

知识只有结构化,才能实践和应用;

知识只有结构化,才能转变为能力;

知识只有结构化,才能创造创新；

学习中可以打破教材的框框限制，让知识横向纵向浑然一体，从而加深知识的理解和掌握。

（二）解题的模块化：

尽量将解题经验显性化和算法化。

孩子头脑里的解题模块，可以是通过孩子自己的总结渐渐形成，也可以由老师把他头脑里的解题模块，通过启发的方式告诉孩子，目的是最终形成孩子自己的认知结构——解题模块。

三框架学习法的三个原则

（一）增强学习兴趣的两个关键点：成绩的提高和知识的增多

对于成绩较差的孩子，首先要改变学习方式，通过提前学习，减轻课堂上消化知识的难度，通过侧重点不同的两遍学习提高他们的考试分数。

只有这样，才能使他们摆脱“讨厌学习”的状态。

兴趣是最好的老师，高分数是兴趣持久的最好老师。

因此，拯救成绩较差的孩子最为切实的方法，还是让他们尽快取得成绩的提高。

让学习成为一种乐趣的另一种方法就是增加知识量。

不少人乘坐飞机，向窗外望去的时候，总是会觉得趣味盎然。

而有些人则对窗外的景色毫无兴趣；

原因常常是因为后者不了解窗外所经过的地点，或者不知道如何从上空俯瞰地理景观。

如果是自己很熟悉的地方，我想不论是谁都会想从天空中往下看一看吧。

一般来说，人们会对有一定了解同时又可获得信息的内容产生兴趣。

也就是说，随着知识的增长，你的兴趣也会有所增加，也因此会自然而然产生更进一步深入学习的要求。

例如，如果你对旅行中所经过的地方的历史或地理有一定的了解，你就会去留意别人不注意的地方。

这样，你自然就会想更深入了解相关的历史、地理的知识。只要对某件事抱有兴趣，就会爱屋及乌，对与之相关的事也产生兴趣。

兴趣与知识，总是互相关联、同步增长。

（二）不要通过部分的积累来理解整体，而是要在把握整体的基础上理解部分

一般来说，人们总是相信下列观点：

“由于基础非常重要，一定要逐步理解”；

“学习数学时，如果遇到不懂的地方，就应该复习一下基础知识”；

“词汇在英语学习中是非常重要的，要通过单词手册来记忆单词”；

“为了理解文章，必须准确把握文章的每一部分”。

这些观点都出自于“必须通过局部的积累来理解整体”的思考方式，也就是“学习同登山一样，必须一步一步脚踏实地地前进”。

从框架学习法的角度看，这不是一种必须和高效的学习方式，学习时既不需要也不应该等到每一步全部100%理解掌握才进行下一步。

框架学习法提倡的并不是从部分到整体的理解方法，而是一种先把握整体，之后以此为基础理解部分的方法，就像是鸟儿从空中俯瞰地面一样。

人们在漫步或是驾驶时，对于道路的认识方法存在着差异。

有些人的脑海里会浮现出一幅地图，然后通过地图来把握所在地同目的地的关系。

与之相对，有些人则是通过眼前的对象来进行把握的（例如，从银行向右转，然后在下一个信号灯向左转，等等）。

前者是如同鸟瞰一般从整体上把握，后者则如同通过蚂蚁的眼睛进行局部观察。也可以说前者是一种宏观方法，而后者是一种微观方法。

从高处往下看，目标会更清楚。如果实现了整体上的把握，便可以分清每一个部分之间是如何联系的。

因此在多数情况下，也就更容易理解每一部分同其他部分的关联。

数学中不理解的地方，常常是后来回过头再看时很自然地就明白了。

难读论文也是如此，在实现了整体的把握之后，也就容易理解每一个小部分了。

最佳教学实践案例

创造普通中学一个班55%的同学考取清华北大教学奇迹的孙维刚老师，他就是这种从系统和整体着眼的教育理念。

他强调站在系统的高度传授和接受知识。

事事处处，时时刻刻，教师总是站在系统的高度教授知识，让知识总是以系统中的一个环节的面貌出现在学生的面前;

学生呢,也总是要站在系统的高度上去接受知识、把握知识，掌握知识之间的联系与规律。

他的系统整体教育理念包含三层意思：

1，每个数学概念、定理、公式等知识教学,都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行；

2，在学过程中对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其他事物之间的联系。使学生逐渐形成一种根深蒂固的习惯；

3，在系统中进行教学，还有这样一层意思：濡染学生，使之养成“联想总是油然而生”的气质。

这些做法，会起什么作用呢?孙老师总结了两点：

1，使学生站在系统的高度，对知识八方联系的结果是，

可以发现它们是那样盘根错节,又浑然一体,

而在最后,竟如“漫江碧透，鱼翔浅底”;

知识在手心里,了如指掌，不再是那一堆杂乱无章的瓦砾,或那一片望而生畏的瓦砾；

2，更重要的，是使学生的思维养成时时处在浮想联翩、思潮如涌的状态。

什么是聪明?聪明有两个层次，第一是“活”,这便是“活”的养成过程。

从教学效果来说，孙维刚老师的三轮每轮6年的大循环的中学数学教学实验，算是框架学习法整体原则在中学课堂的最佳实践！

（三）从80%开始，只要能够登上更高的地方，那么剩下的那20%就会自然而然地理解

如果一心只想将基础打好，做到完美无缺，那么永远也不会进步。

什么都想学，最终必将导致什么都学不好。

我们基本都同意，在考试的时候，不要一直耗在一个问题上，而应该先写出一个大概的答案，然后回答别的问题。全部做完后还有时间的话，再回过头来考虑该问题。

对于学习来说，道理也是一样的。也就是说，先做事情的80%，做完80%后，再考虑别的事情。一般来说，剩下的20%是相对较难的。一直停留在那20%上下死功夫，付出的努力跟收获的成果常常不成正比例。

继续往前走，反而有可能用后面学到的知识，激活前面存在掌握困难的20%的疑难点，从而把知识链补全，完善学科认知结构。

陈杲（gao),双胞胎姐姐陈杳(yao),以及李路珂都有过在校内学习遇到困难，成绩不理想的时候，他们坚持用80%原则，通过继续超前自学反哺前面的知识，最后都顺利克服遇到的挑战。

四答你想问

最后解答一些家长读到此处心中在想的两个关键问题：

核心问题一：

这方法大牛们在用，而且都用出了效果，甚至说看完文章，发现自己身边的不少牛娃确实就是用这种方式在提前自主学习，这三点都没啥问题，但关键的问题是大牛们和牛娃们能有效使用的框架学习法，是不是因为他们本身都是天赋过人，要换成普娃就不一定能用吧？

老吴回答：

从个人对教育学习理论的研究，再结合自己学习和工作经历实践来看，我自己非常认可这种学习理念和方法。

我认为这方法本身具有高效性和普适性。

打个比方：传统按部就班先局部后整体的学习方法属于骑自行车，那么这种先整体后局部再整体的框架式学习法就属于开小汽车，不同的人都骑车或者都驾驶产生的差异远比不过同一个骑自行车和汽车之间产生的差异；我的教育学习理念和信念中，对于最终产出的学习效果，高效方法的影响因子要大于人天赋的影响因子。

当然老吴的个人感性认识说服力有限，下面从三个大的方面进一步回答这个问题：

（一）理论基础方面：

框架学习法是脱胎于前苏联著名心理学家维果斯基的“最近发展区”理论，赞可夫的发展性教学理论和布鲁纳的结构主义学习理论。

这三种理论都是久经考验，适用性很广，目前依旧很权威的经典教育学习理论；

（二）多人实践方面：

陈杲的父亲陈钱林除了用这方法培养了自己家两个孩子，同时还让基础相当一般的几个侄子外甥取得了很大进步，考取理想的学校；

蔡笑晚就更不用说，他家孩子七个都取得这么大的成就，7个孩子生下来都是天才概率是不是太小了；

李路珂的父亲李永生在自己孩子上大学后，用这方法辅导培养了一批朋友同事家的孩子；

（三）跨学科实践方面：

举个我亲历的例子，我女儿4岁开始学小提琴，启蒙是在少年宫，授课的是曾任本市歌剧院第一小提琴Z老师。

他的启蒙方式不是让孩子们一直枯燥的“锯木头”，也不是把一个一个基本动作抠到100%标准合格才往前走，而是把初步身体协调动作和指法教完后，每一级选一首曲子，带着孩子们，快速的从第一级的《八月桂花遍地开》逐级向上，一直往上拉到九级的《梁祝》，十级的《阳光照耀着塔什库尔干》和超十级高难度的帕格尼尼曲。

这样就让孩子能快速的初步领略，不同难度、多种风格曲目的音乐特色和韵味，同时初略感知下其中需要用到的揉弦、拨弦、双音、跳弓等不同指法技法。