90%以上学生都不知道的数学学习“第一性原理”
数学的起点是数学符号。
----数学之王David Hilbert
1. “听而不懂”、“懂而不会”、“会而不对”、“对而不全”的底层原因
有一项研究，对近2000名初中师生，通过问卷调查、访谈、数学测试等手段，了解数学阅读中有哪些障碍影响了学生的理解。
最后经过统计分析得出，初中生在数学阅读过程中具体有障碍的内容如下:
(1)、含数学符号较多且符号较抽象的内容;
(2)、含有抽象公式的内容，特别是对公式单纯解释的内容:
(3)、含有专业术语的内容;
(4)、涉及到三种数学语言之间转换的内容
(5)、知识点零散，需要学生归纳和类比的内容;
(6)、空间感要求较强，并且涉及这画图等实际操作的内容;
(7)、涉及到现实中的问题抽象数学知识的内容。
很容易发现排名前四项的数学阅读障碍都涉及到数学符号；
另外对小学和初中数学教材中的数学概念、数学符号、数学图表、数学公式、数学定理、数学关键词进行分类统计的结果表明：
小学生平均每学期要掌握4个数学关键词、26个数学概念、5个数学专业符号、3个数学图表、3个数学公式或定理。
整个小学阶段，学生需要学习和掌握498个数学符号。
初中生平均每学期要掌握4个数学关键词、67个数学概念、12个数学专业符号、15个数学图表、22个数学公式或定理。
整个初中阶段，学生需要学习和掌握719个数学符号。
从数量上看，初中阶段数学符号的教学任务比小学阶段增加了近一倍，而教学时间却减少了一半。到了高中阶段，数学符号的数量再增加一倍，必将使数学学习变得更加困难。
这些数据表明，随着年级增加，数学符号的数量在急剧增加，形式也越来越简洁，数学符号包含的意义也越来越复杂。
但很多学生的数学符号意义获取能力却仍处在低水平，
没有进行刻意训练和得到相应提升，
这是导致随着年级的增加，许多学生感觉数学越来越难学、越来越枯燥，普遍出现“听而不懂”、“懂而不会”、“会而不对”、“对而不全”的根本原因。
（2021年浙江高考数学最后一题部分解析）
2. 数学符号是数学学习的起点
第一性原理
根据原子核和电子相互作用的原理及其基本运动规律，运用量子力学原理，从具体要求出发，经过一些近似处理后直接求解薛定谔方程的算法，习惯上称为第一性原理 。
埃隆·马斯克（Elon Musk），是PayPal、SpaceX太空探索技术公司、环保电动汽车公司特斯拉（Tesla）以及SolarCity四家公司的CEO。
除了造特斯拉电动汽车，还造火箭发射火箭运卫星，还认真的提出了火星移民计划。他是现实中的钢铁侠，相信大部分人都知道他。
2017年第一性原理会突然在互联网火爆起来，创业者们如获圣经各种解读，每个创业者见到投资人被问的第一句话就是，你这个商业模式第一性原理是什么。
为什么投资人会这么问，这就是因为硅谷钢铁侠埃隆马斯克，他告诉大家他成功的秘密是运用了第一性原理作为思考的框架：
打破一切知识的藩篱，回归到事物本源去思考基础性的问题，在不参照经验或其它的情况下，从物质/世界的最本源出发思考事物/系统。
“我相信有一种很好的思考架构，就是第一性原理，我们能够真正地去思考一些基础的真理，并且从中去论证，而不是类推。
我们绝大多数时候都是类推地思考问题，也就是模仿别人做的事情并加以微幅更改。但当你想要做一些新的东西时，必须要运用第一性原理来思考。”埃隆如是说。
"第一性原理”的思考方式是用物理学的角度看待世界的方法，也就是说一层层剥开事物的表象，看到里面的本质，然后再从本质底层一层层往上走。
数学学习中的第一性原理
数学学习中最核心的能力是数学自学能力，
数学自学能力的起点和核心则是数学阅读能力，
数学阅读能力最本质的表述就是数学语言能力，
数学语言能力中最核心的表现是对数学概念的理解和掌握，
而数学概念作为数学思维的细胞，它的构成元素就是数学符号。
正因如此英国著名数学家罗素曾说:“数学是什么?数学就是符号加逻辑”，
德国著名数学家，20世纪最伟大的数学家之一，被后人称为“数学世界的亚历山大”的希尔伯特，更是直接说“数学的起点是数学符号”。
所以我们可以总结出：“数学的起点是数学符号”就是数学学习中的第一性原理。
数学符号的分类
数学符号就是在数学中用以表示数学概念、数学关系等的符号和记号。
如记号V 表示体积、二次根式的数学概念符号表示为“√￣ ”、表示数学关系的符号，如，＝、、≈、＜、sin 等。
类比语文和外语语言的学习，根据数学符号意义不同，数学符号可分为四类：
(1)数学元素符号或数学词素
元素符号是指有明确数学意义，但不能独立表示数学对象，需要与其他符号联结才能表征数学信息的符号。
元素符号是最小的记号单位，只是一些简单的笔画或音阶，但它是组成概念符号的基本元素。
如构造英语单词的26个字母，构造汉字的各种笔画等。
(2)数学概念符号
数学概念符号是指表示一个或多个确定的数学对象的符号。
它一般由元素符号或一个单独的数学符号组成。
数学概念符号是表征数学对象的基本单位或最小单位，即表示某个确定认识对象的概念符号无法再分拆，分拆后的符号或者没有意义，或者不再表示当前的认识对象而表示其他的认识对象。
数学语言中的数字符号、字母符号、关系符号、运算符号等单个符号是概念符号。
如√2、f(x)、(x,y)都是概念符号。
(3)数学命题符号
数学命题符号一般由元素符号和概念符号组成，指代的是对事物的一个判断。
数学命题符号是为了表示认识对象自身的各种属性，或不同认识对象之间各种关系的一个判断或陈述，而将不同的概念符号按照约定的组合规则联结而成的符号序列，即通常所说的“句子”。
命题符号是表示信息的基本单位或最小单位。
例如，数学中的各种定理、法则公式等指代的是对事物的一个判断。
(4)数学文本符号
文本符号是为了详细描述与某一主题相关的事物的性质或关系而把相关的命题符号串联或组合起来的符号序列。
根据主题的从属关系，文本符号可分别称为段、节、章、篇等。
从形式上看，文本符号至少含有两个以上的命题符号，即命题符号是文本符号的基本单位。
一般情况下，依次从句、段、节、章到篇，符号的意义越来越复杂，只有获得前者的“言外之意"才能较好地把握后者的主题，获得后者的意义有助于发现前者的“言外之意”。
因此，在阅读文章时，后面的阅读有助于对前面文字符号的理解，阅读完全部文章后再读前面的文字又会有新的理解，而隔一段时间后再重读文章又会有新的体会，而这些体会往往又真正是文章本身意义的。
类比语文和外语阅读来说，最基本的障碍是对字、词、句、文章结构的理解，只有这些基础的知识都弄懂了，才能有更高层次的认识。
所以数学阅读的根源也在于对数学符号的理解:图像图表、数学专业符号、抽象公式、专业术语、三种数学语言之间的转化等。这些都是数学教材中的基础细胞，也是在数学阅读过程中不容易理解的地方，
3. 数学符号意识的构成框架
一 数学符号的感知
数学符号的感知是对数学符号的直观认识，不仅包括感知、理解数学符号本身所特有的含义，也包括数学符号之间相互关联性。
数学符号感知能力的培养目标是：
理解数学符号的意义及数学符号之间的关系，
能够体会不同情境下数学符号具有不同的意义和作用。
二 数学符号的运算
数学符号的运算是数学活动中最重要的基本形式，运算是根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程。
核心是基于数学运算的符号操作，符号操作作为解决代数问题的一个重要补充，是需要学生必须掌握的数学技能之一。
数学符号的运算所得结果的一般性体现出数学符号的本质特征，数学符号的运算包含3个阶段:
具体数字运算阶段;
符号形式上的运算阶段;
符号程式化运算阶段，
这方面的学习能力建设目标是：
能够利用数学符号类比数字进行运算，
并能解释运算的结果具有一般性，
从算理层面理解数学符号的运算。
三 数学符号的推理
数学符号的推理包括合情推理和演绎推理。
合情推理的基本思路是“通过经验过的东西推断没有经验过的东西”，它是形成数学猜想的重要途径，是一种从特殊到一般的推理形式，正如史宁中教授所说:“数学的结果是'看’出来的，而不是'证’出来的。”
但是这里的结果未必是真的，需要通过演绎推理对其真伪加以验证，演绎推理是一种从一般到特殊的推理形式。
在数学符号进行推理时，我们追求的是：
不仅可以通过合情推理得到结论，
还能够从一般的概念、公理水平出发，对所得结论利用演绎推理进行论证，
并能够判断所得结论的真假，具备猜想-证明的推理思维水平。
四 数学符号的表达
发展数学符号意识，提升符号意义获取能力，最重要的是从数学符号的角度运用数学符号系统进行数学表达，使数学问题的解决呈现一定的规律，从而避免杂乱无章信息的干扰，并从中发现一些共性的东西，提升有序思维。
数学符号的表达有3种表现:
数学对象和数学关系的符号化;
利用数学符号进行数学表达;
多种数学符号之间的相互关系及其转化。
在进行数学符号表达时，我们的追求的是：
理解数学符号表达的多样化，
能够选择一种可行的数学符号表达式表征问题，并能够根据需要及时替换，
知道何时选择其他方法或者寻求更容易简练的数学符号表征方式(表格、图形、关系式)解决问题，对于数学符号的表达是灵活的。
4. 提升数学符号意识的建议
一 阅读经典数学符号史书籍
“学习这么多的数学概念到底有什么用？”
“为什么用这个符号来表示这类概念？”
“使用这么多的数学符号就不会使数学变得更加复杂吗？”
“现在学到的数学知识感觉在现实生活中没有用？”
让孩子阅读经典的数学符号史书籍是寻找以上问题答案的一个很好选择。
数学符号史是关于数学概念符号产生和发展的历史，它揭示了数学概念符号是如何伴随着数学概念的产生而产生与发展的。
了解数学符号的产生历史可以帮助数学符号的学习，理清数学符号的来龙去脉可以更好地理解数学符号的意义。
因为多数数学符号很抽象，学生往往不愿意记忆和运用。相对于数学符号语言，学生更容易理解文字描述。
尤其是对中学生，数学的学习几乎都要以符号的学习为基础，这加大了数学的学习难度。数学符号表示的数量关系更为复杂，富于变化。
这就需要学生在理解数学符号特点的基础上，遵循数学符号的历史来源和变化规律，抓住数学符号定义的本质进行整理和记忆，才能进一步找到解决问题的思路。
一个数学符号的历史可以恢复对相关问题的合情推理，以此找到更准确和有效的学习方法。在这种方式中，能开拓学生的视野，使学生更深刻地理解数学符号。
从改变这样的现状开始，一步一步，通过联系数学符号史可以逐步提高学习数学符号的兴趣。
学生发现数学符号的变化过程有助于提高学生的认知能力，也有利于培养学生的数学创造能力。
追寻符号史轨迹，凸显概念本质，就是要让学生沿着概念及其符号产生和发展的历史轨迹，去经历祖先之经历，让他们也像那些伟大的数学家一样去“发明” 数学，体会蕴含在其中的思想方法。
只有让学生沿着数学家们创造数学符号的路径来构建数学符号，学生才能以一种平缓渐进的方式接受数学符号。
这样做既可以让学生了解数学符号所代表的内容，又能让学生掌握它所具有的内涵，让学生知道所学习的数学符号是数学思想、方法的依托物，而不是一个死板的记号。
对数学符号的产生过程有了较深了解后，数学符号就会生动有趣起来，学生对数学符号就能获得更多的意义，从而产生更多亲近感。
二 培养阅读数学教材的习惯
我国著名教育家叶圣陶有句名言:“教是为了不教”，根据心理学的认知规律培养学生的自学能力，是影响整个教育成功与否的关键，而实施自学能力的培养无疑是先从数学教材做起。
数学教科书和教师用书是数学课程的具体化，不仅是数学教学的主要依据，而且是学生进行学习获得系统知识的主要材料。
它体现了数学的科学性和思想性，在加强数学基础知识和基本技能的同时结合现实生产、生活、社会实际，并适当渗透先进的科学思想。
既反映了作为科学的数学的特点，又考虑到学生学习的心理顺序，是培养学生阅读能力的最佳材料．
要学习的数学定义、数学命题和数学例题，教材中写得很详细清楚。
但如果孩子不认真阅读，或只是走马观花地看一下，而没有真正钻进去，就不可能真正感受到数学符号的魅力。
即使通过教师的课堂讲解，学生明白了数学知识，也无法将这些数学知识与数学符号建立联系。
因为“听”与“看”运用的是不同的感官，感知的是不同的记号，一般会获得不同的感知效果。
比如，我们听人讲故事，可以很轻松地记住故事的梗概，可以记住他的某些话，但却无法记住这些话所对应的词语。
所以，学生能听懂课堂上教师讲的数学知识，课后却不会做题，一个主要原因就在于数学语音符号与数学书面符号之间的本质差异。
这也是学生对数学知识理解得糊糊涂涂，作业中错误百出的重要原因。
阅读数学文本时，首先要认识文本中的每一个符号，回忆符号的字面信息，然后根据语法规则将不同的符号联结成字、词句、段，获得数学文本的字面意义，这些基本意义构成了数学符号感和数学学习能力的基础。
随着数学知识的增加数学经验的积累和数学能力的提高相关的数学符号就会形成一种稳定的结构或关系。
当它们出现时，阅读者就会自动地激活相关的经验知识，从而获得数学符号之外的情境性意义，发掘潜藏在数学符号背后的信息，这种信息就属于数学符号感。
具体如何进行数学阅读，可以参照我前面写的数阅读系列三篇文章：
5. 下文预告：
下一篇将专门写针对不同层次的学生，家长和老师的四本五星级数学符号类书籍推荐（其中有一本已经绝版，将提供该书电子版网盘下载），相信会对提高大家对数学符号的认识和数学符号意义的获取能力有所帮助，敬请关注！
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