全国优秀教师（正高级）石志群：数学理解，理解什么？--“理解的数学教学”刍议
原文刊于《数学通讯》2019.10（1-4）
开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。
文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。
石志群，江苏姜堰人，1983年7月毕业于扬州师范学院（今扬州大学），从事高中数学教学与研究37年．省特级教师，正高级教师．曾获全国优秀教师、江苏省突贡专家、江苏省红杉树园丁奖、泰州市名教师等荣誉称号。在省级以上刊物发表文章二百余篇，其中33篇被中国人民大学书报资料中心刊物《高中数学教与学》全文转载．是苏教版高中课程标准教科书《数学》的副主编、分册主编。
数学理解，理解什么？
—— “理解的数学教学”刍议
泰州市教研室（225300）石志群
“理解数学”是数学教学的基本要求，只有充分地理解数学，才能认识数学的本质、数学的价值，才可能做到运用数学解决问题。反过来说，没有数学的理解，就没有数学的能力，更没有数学的素养。本文中的“理解的数学教学”是指基于数学理解的教学追求的数学教学目标和教学行为。
一、非理解的数学教学现象
从笔者所听的课、看的教学视频及相关书籍、教材中可以看出，非理解的数学教学是普遍存在的。
案例1乘法概念的扩展（小学）
3´5的含义很明确，就是有5个3相加的和，那么，3´5.4的含义是什么呢？是5.4个3相加所得的和吗？
现行小学数学教材对3×5与5×3不加区别，进而只讲5.4×3，对3´5.4避而不谈。首先，对乘法符号的意义不作严格的限定这本身就是问题，是对乘法运算法则的本质的忽视，而且对学生而言，这并不构成难点，仅仅是个表示形式的问题，适当强化有助于学生认识数学符号的意义与价值。其次，基于乘数、被乘数不加区别的前提，完全忽略整数乘以小数的意义的理解，也是不负责任的。笔者个人的观点，宁可将这些内容推后一段时间教学，也不要这样让学生稀里糊涂、不加理解地学习。或者指出本质的情况下，说明以后会阐明理由。
现行教材用面积讲解小数乘法，有的教材将问题中的单位从“米”改为“分米”，“米”时是小数乘以小数，“分米”时变成了整数乘以整数，再将结果从“平方分米”转换为“平方米”，经过结果的对比，说明小数乘以小数的运算方法，这还是可行的，不过，有必要对小数乘以小数的概念的意义作出必要的说明：这里的“乘法”已经不是“同加数的加法运算”的意义了（“个数”是针对离散量而言的，苹果的数量可以用“多少个”表述，而水的数量就无法用“个数”表达了。在引入小数后，数的概念已经在向“连续”量发展了。所以，乘法的概念也从原始的基于离散观念的“加”的特例转向连续量的运算了）。
学生对乘法的理解还处于这样的阶段：加数相同时加法运算的简约形式。在这样的理解基础上，如果没有恰当的活动过程，只是将运算方法、法则告知学生，学生是不会真正理解小数乘法的含义的。
案例2正比例函数模型（初中）
某初中一年级教材中这样一道习题：在容器里有18oC的水6L，现在要把8L水注入里面，使容器里混合的水的温度不低于30oC，且不高于36oC，注入的8L水的温度应在什么范围内？
初一的学生怎样才能解出这道题？我们知道，这道题的解决是建立在一条物理定律的基础上的：每克水温度每升高（或降低）1oC所吸收（或放出）的热量是一个常数。
现在的问题是，初一学生并没有学习过这个定律，没有了物理定律的依据，学生怎样才能正确地解决这个问题呢？只能依赖直觉与常识！把常识当真理是可怕的，但又是人的认知惯性，如果没有理性的反思，伴随其产生的就是愚昧与无知。数学最本质的精神是理性精神，学习数学就是要学会理性思维。
学生以为理解了，教师也认为学生理解了，其实一点也没有理解，而且负面效果危害更大！
案例3三角比与三角函数（高中）
初中阶段学生学习了“三角函数”（相对于锐角），不过，那里并没有真正的“函数”的意义，而是直角三角形中的边角关系，现行沪教版教材以“三角比”称之，笔者认为更为准确。
二、数学理解的内容
数学理解的内容主要有4类：
一是数学的对象，即数学概念、数学模型、数学方法、数学思想，数学的各个分支，数学的体系与结构（数学的理论体系的特点、要求，数学的推理基于怎样的基础，符合什么标准，推理的形式与实质是什么？）等。
理解数学对象就是理解其内涵、实质、思想、价值。
比如，如果只是知道了“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。”的形式定义，并不能算理解了同类项的概念。如在算式“2x2y3-2x3y2-5x2y3”中，为什么2x2y3与-5x2y3是同类项，而与-2x3y2不是同类项？因为对于每一对确定的x,y的值，两个项中x2y3的值都是一样的，从而运算时可以将它们合起来，x2y3与-x3y2的值不一定相同，运算时它们不能合在一起。正因为有这种“等值”性，才将它们称为同类项。故而，“同类项”的概念因“合并同类项”的运算的需要而产生，这是历史的思维过程，也是认知逻辑的思维过程。
二是数学的过程，即数学对象（某个概念、模型、方法、思想、分支等）的发生、发展的历史过程。
理解数学的过程就要理解其动力、历史及其文化价值，对人类文明发展的影响等。
如指数幂的概念的拓展过程，从正整数指数幂、整数指数（零指数、负整数指数）幂、分数指数幂，一直到实数指数幂，其历史的过程对数学教学有着重要的启迪意义，对帮助学生理解相关概念的本质、为什么要拓展指数概念、是怎样想到的等，都是大有裨益的。
三是数学的思维，即数学问题解决等数学活动的思维过程，包括问题的提出过程、知识的建构过程、规律的发现过程、思路的探索过程。既可以是数学发展过程中数学家们的思维过程，也可以是教师将数学内容从学术形态转化为教育形态而设计的学习化的思维过程，或教师所理解的数学问题解决的思维过程，还包括学生数学学习活动中的思维过程。
对数学思维的理解是指对数学家的思维的历史动因、文化基础、创造源泉、思想观念、科学精神的理解，对教师教学活动中暴露的教师的思维的因果联系、思想方法、思维策略的理解，对学生自己的思维进行原认知理解（即对自己思维过程的反思性理解）等。
比如，“数列”的概念形成的思维过程，传统教材通常给出若干例子，提出问题：它们有着怎样的共同特征？这样的处理，掩盖了提出问题的思维过程：你怎么想到要考察这些例子的？苏教版课程标准（2017版）《普通高中教科书·数学（选择性必修第一册）》在章首语中揭示了其思维过程：
自然世界呈现各式各样的现象，有些现象与“数”紧密联系着：树木生长过程中枝丫的数目，果实的个数与排列方式……
这些纷杂的现象背后有规律吗？
观察某株树木的枝丫数，第一年为1，第二年为1，第三年为2，第四年为3，第五年为5，第六年为8，第七年为13，第八年为21，第九年为34，第十年为55，第十一年为89，第十二年为144……将它们按年份排列起来，就是下面的一列数：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
可以发现，这列数有许多规律．例如，从第三个数开始，每一个数都等于前两个数的和；再如，相邻两个数的比值（前一个数与后一个数之比）越来越接近于某个确定的常数……
上面的研究过程，大致思路是：
（１）首先，用“数”刻画现象中的状态；
（２）将这些数按一定的顺序排成一列（与正整数建立对应关系）；
（３）研究这列数的规律，用这些规律刻画并认识变化的状态和过程．
仿照这个过程，我们可以进一步去研究自然界、社会生活中的类似现象，探索这些现象背后的规律，以解决具体的实际问题．在研究过程中，我们
● 应该建立怎样的数学模型来刻画这类现象？
● 用这些数学模型能够解决哪些问题？
通过真实的情境，运用真实的数学研究的方法揭示出“数列”这个概念的本质的同时，暴露了提出问题的思维过程、分析和解决问题的思维过程。
四是数学的观念，即数学的价值观（求真、求美）、数学的审美观、数学的理性精神。
对数学观念的理解就是理解数学活动中起引领作用的数学的价值观，如数学的求简意识、审美意识、……
如几何学中为什么总“喜欢”对平行、垂直这两种位置关系进行专门的研究？
从数学审美的角度看，平行与垂直是几何关系中最具“对称”美的两种位置关系，是比较容易解决的特殊情形，而其它位置关系又都可以通过“平移”、“投影”变换进行转化。因为具有这样的简单而又优美的特征，其一定具有很高的数学价值。
举个例子，在用向量方法推导正弦定理、余弦定理时，学生反映，推导余弦定理的思路很容易想到：对三角形的向量表示（A,B,C不共线）进行数量化，即在等式两边分别“数乘”某一条边所对应的向量，如。但是，用“作高”所对应向量，并用其“数乘”上面的向量等式的思路不容易想到。我想，如果有了“对称”的数学观，知道“平行”（对应于向量即共线向量）与“垂直”两种最重要的位置关系，平行用过了，当然用垂直了，于是，作高对应向量的思路就是必然的了。
上述四者不是孤立的，它们之间是相互联系、相互影响的，甚至可以认为它们是一个有机的整体。对数学对象的理解（如概念）对数学思维有促进作用；理解数学对象是在数学思维的过程中实现的；理解数学对象需要对数学的过程的了解；数学的观念能促进对数学对象的理解，也能有效地提高数学思维能力；从历史看，数学观念的发展寓于数学发展过程之中，从人的成长看，学生的数学观念的发展则依赖于良好的数学学习过程；……。
三、数学理解有层次之分
理解，有三级水平：
低级水平的理解是指知觉水平的理解，就是能辨认和识别对象，并且能对对象命名，知道它“是什么”；
中级水平的理解是在知觉水平理解的基础上，对事物的本质与内在联系的揭露，主要表现为能够理解概念、原理和法则的内涵，知道它是“怎么样”；
高级水平的理解属于间接理解，是指在概念理解的基础上，进一步达到系统化和具体化，重新建立或者调整认知结构，达到知识的融会贯通，并使知识得到广泛的迁移，知道它是“为什么”。
教学中，不同的学生理解的程度不一定相同，有些理解深刻、到位，能达到第二甚至第三层次的理解，有的理解粗浅、片面，只能达到第一层次的理解，甚至有些根本就没有理解。数学教学中，要及时关注、了解学生是否真正理解了、理解到怎样的程度，并根据现实的可能性，采用恰当的方法促进学生的理解。有的学生可以达到理性的理解、深度的理解，有的学生只要能够有感性的理解、一定的认识。
由于学生认知发展水平的阶段性特征，对数学的理解又应该分阶段、分层次地进行，使理解的水平与认知发展水平相适应。教学中，应该根据学生的认知规律，分层次、有步骤地引导学生渐进地理解数学内容。
比如，几乎对所有的学生，对“弧度制”的理解都需要分层次进行。
第一层次：合理性的认识
基于学生已经学习过的“角度制”（将圆周360等分，其中每一份弧所对的圆心角就是1o的角），追溯其依据：弧长与半径之比 的不变性（只与l所对圆心角大小有关），提出问题：是否还可以建立新的角的度量制？
在学习极限概念和级数等内容时，又能对弧度制进行深化性认识与理解，进一步体现其意义与价值。
上述三个层次的理解是不可能在初始阶段一次到位的，只能在不同的学习阶段，结合相应的学习内容进行进一步的理解。当然，教学过程中应注意引导学生进行进一步认识，如果没有相应的“反刍”过程，这种深化的理解就不可能实现。
在基础教育阶段的数学学习过程中，要善于设计有层次的教学过程，促进学习理解的逐层深入。
四、数学理解的过程
首先是数学理解的心理过程
对“理解”的心理过程，不同的心理学派有着不同的解释，有图式说、同化——顺应说、顿悟说、……，它们都从不同侧面阐述了学习过程中的“理解”的心理发展顺序、变化或进化的特征，具体内容就不一一赘述了（可以查阅心理学书籍）。
约翰•杜威在《我们如何思维》一书中对“理解”一词从过程层面做了独特的解释：理解是学习者探求事实意义的结果，具体是指“掌握一个事物、事件或场景的意义，就是要观察它与其他事物的联系：观察它的动作方式和功能、产生的结果和原因以及如何应用。而那些我们称作无意义的事情，是因为我们没有领悟到它们之间的联系。…方法——结果是所有理解的核心”
将杜威的观点引入数学学习，那么数学理解的心理过程其实就是探求数学对象、数学过程的意义的过程，体验数学思维的动因与价值的过程，以及形成数学的观念的“数学活动”的过程，本质上，数学理解的过程即是数学的思维过程。
综合各种学术流派的观点，数学理解相关影响因素为学习新知识的基础（关于新知识学习的认知基础）、数学思维能力、问题的呈现方式、理解的对象的抽象程度或对理解水平的要求层次、理解的思维过程的跨度大小及所用知识方法的熟悉程度、……
基于上述认识，促进数学理解的教学路径就是设计基于问题的数学活动过程，让学生在解决问题的数学活动的过程中感受、体验、探索、建构、应用。通常，促进学生数学理解的教学策略有：通过生活常识增强感性认知、通过特例体验增加具体感知、形象生动地直观感知、通过分解化难达到逐步深化、通过展示知识的体系实现系统化认知，从而融会贯通、通过多重表征的方式实现由此及彼的过渡、……
比如，一元二次方程的韦达定理，从结论上看，没有理解上的难度，正由于这个原因，不少教师在教这部分内容时，都采用通过特例让学生写出两根之和、两根之积，再猜想结论，证明猜想，快速地完成探究过程，将时间主要用于如何运用韦达定理解决题目上。表面上看，学生也理解了，其实只是对“内容”对象的理解，对韦达定理中蕴涵的丰富的思想、观念，几乎没有任何理解：怎么想到写两根之和、两根之积的？历史上数学家们（包括韦达）研究这个问题的动因是什么？从数学自身逻辑发展的角度看，为什么会想到研究这个问题？更不要说这种对称性特点对数学的发展的巨大推动作用的认识了。
如果我们从一元二次方程求根公式出发：用系数表示根，提出问题：根与系数的关系？能不能用根表示系数？再看已经有了的两种形式：由方程根的定义得到的
前者根与系数混合在一起，后者用系数分别表示两个根，那么，能否找到根与系数的其它关系呢？……
下面再从第一个式子，或第二个式子，或求根过程中的某个步骤中的式子等思路进行探索、发现。这是一个将数学的逻辑过程与数学探究的心理过程有机结合的设计，这样的过程，学生理解的不仅是最后的结论，而且理解了问题提出的动因，在此基础上，学会了数学中提出问题、发现问题的方法，数学研究的基本套路（规范），理解了探索的目标，及由此导向的思维过程，且多角度的推导过程、三种形式（上述两式及韦达定理的表达式）的等价性，能够促进学生进一步地认识到方程、方程根的本质，深化了对方程理论体系的理解。
事实证明，从提升学生数学素养的角度看，题目做得再多，也没有让学生经历理解数学的过程的作用大。当然，这并不是否定通过运用知识解决问题的过程促进数学理解的功能。
其次是数学理解的逻辑顺序
从理解过程的顺序看，数学理解又分正向理解和逆向理解。前者是基于数学建构过程的理解，在解决问题的过程中逐步地理解，这种理解是生成性的理解，是经历了来龙去脉的过程的理解。后者则是先知道结论、思路，或先猜出结论、告知思路，再分析为什么会有这个结论或思路，通过执果索因的方式理解相关内容。
通常情况下，当学生能力能够胜任时，应尽量选择建构式理解的方式，因为这种方式不仅能知其然，还能知其所以然，更能知其为什么“所以然”。即使使用了建构式的理解方式，进行逆向性理解也是必要的，通过对思维过程的反思，能够促进理解，深化理解，同时固化经验，由“例”及“类”，优化认知结构。
当学生的能力达不到自主建构，实现理解学习时，先告知结论，再逆向探究，溯源求本，理解根源是自然的选择。不过，对于逆向理解的方式，在理解了的基础上，还应该让学生再进行一次正向理解，即让学生追问：如何基于已知的条件，不用结论的提示，探求解决问题的路径？完成一次正向探索过程。这对于深度理解学习内容，提高数学理解能力、水平是非常有益的。
事实上，因为不同学习阶段的内容有交叉，同时，信息化时代的学生通过书籍、网络等信息渠道知道了很多学科知识，包括数学上的不少结论，所以数学教学中有不少内容，在我们实施教学时不得不使用逆向理解的方式。如初中阶段教学“三角形内角和定理”，因为小学阶段学生已经学习过相关内容，通过剪、拼的方式知道了结论，所以，正向探究的条件已经不存在，实施教学时只能追问：怎么想到研究三角形的内容和这个问题的？怎么想到剪、拼的思路的？你能从前面刚学习过的内容出发，解决上述两个问题吗？这样的情境提供了两种路径：有的学生会再“发现”，用正向理解的方式思考，也有的同学从结论出发找原因，理解小学时的方法的认知逻辑。
以上探讨了关于数学理解的教学的若干问题，不全面，更不系统，只是个人的观点，不当之处敬请指正。
参考文献
1． 约翰·杜威著，伍中友译，我们如何思维，新华出版社2014年8月第二版
2． 格兰特•威金斯（Grant Wiggins），杰伊•麦克泰格(Jay McTighe)著，闫寒冰，宋雪莲，赖平译，追求理解的教学设计，华东师范大学出版社2017年3月第一版
3． 张乃达著，思维•观念•文化，凤凰出版社2012年10月第一版
4． 单墫，李善良主编，普通高中教科书•数学，已通过出版审查，待出版。
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