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高等代数,第四版,第三章P158,T25
Original
Appmath
MathematicsClub
2022-10-14
高等代数,第四版,第三章P158,T25
数学兴趣大讲堂
数学基础
数学上,数学基础一词有时候用于数学的特定领域,例如数理逻辑,公理化集合论,证明论,模型论,和递归论(可计算性理论)。
但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:
在什么终极基础上命题可以称为真?
目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论和形式逻辑的。
实际上,几乎所有现在的数学定理都可以表述为集合论下的定理。
在这个观点下,所谓数学命题的真实性,不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。
这个形式化的方法不能解释一些问题:
为什么我们应沿用现行的公理而不是别的,为什么我们应沿用现行的逻辑规则而不是别的,为什么"真"数学命题(例如,算术领域的皮亚诺公理)在物理世界中似乎是真的。
这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。
在数学实在论(有时也叫柏拉图主义)中,独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设;
这些对象的真实性由人类发现。
在这种观点下,自然定律和数学定律有类似的地位,因此"有效性"不再"无理由"。
不是我们的公理,而是数学对象的真实世界构成了数学基础。
但,显然的问题在于,我们如何接触这个世界?
一些数学哲学的现代理论不承认这种数学基础的存在性。
有些理论倾向于专注数学实践(英语:
Mathematical practice),并试图把数学家的实际工作视为一种社会群体来作描述和分析。
也有理论试图创造一个数学认知科学(英语:
Numerical cognition),把数学在"现实世界"中的可靠性归结为人类的认知。
这些理论建议只在人类的思考中找到基础。
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第二章A组答案:
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