2021年武汉大学高等代数考研真题及解答
2021年武汉大学高等代数考研真题及解答
若为3维列向量,其夹角为,试证:线性无关;
解:依题可设
根据
可得
根据Lagrange恒等式,可知
因此
故线性无关.
补充Lagrange恒等式
其证明的代数方法:由于
将其分解成对角线和对角线两侧的一对三角形
将(1)减去(2)式可得
若为三维向量,且 试证:线性无关的充要条件是可逆.
证明: 设有线性关系
将其分别与 取内积,可得方程组由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于,从而线性无关的充要条件是可逆.
若,求
解: 由题设可知的特征多项式为
令,可设
故有
因此
提高一个难度: 若
试求
很显然可归纳得到
从而有
可将这 49 个等式相加,得到
于是
因为
所以
而
因此
设二阶矩阵 ,且 ,其中矩阵 的特征值为 ,若 ,求 .
解: 由题设知
因此
设 维列向量 ,且 ,求 的所有特征值.
解. 先证一个打洞结论,而且这个结论曾经在2012年武汉大学高等代数真题以16分大题出现.
由题设可知
因此
若 的线性映射,试证: 是单射的充要条件是 是满射.
证明: 由于
而
重要结论: 对于有限维线性空间
先给出单射与满射的定义:
(1)
(2) 是满射。
设
若
即 是单射,下证 ,对 有 也就有 故 是满射.若
是满射,即 ,可得 ,反证法:假设 则有 ,而 , 矛盾,则证 ,即 是单射;
因此
若 为 阶实对称矩阵, 为恒等矩阵,且满足
试证:
证明: 由于
由
其中
令
故有
由于
[Hadamard 矩阵 ] 每个主元都大于其所在行其他元的绝对值之和的方阵 称为 Hadamard 矩阵.
设
设 维列向量 ,且 ,若 ,其中 试证:是否存在一个
,使得 为 的值域.
证明: 由题设知
故有
且
由于
令
由于
而
则有
从而
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