【中考专题】费马点，入门指南~

皮耶·德·费玛 Pierre de Fermat 律师界最业余的数学家

法国律师界数学学得最牛的一个人，

被誉为“业余数学家之王”.

所谓的“费马点”就是费马在给朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题：“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”并称自己已经证明，于是数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

关于最值：

关于费马点：

01

费马点的几种情况

费马点的位置第一种情况

 如图1，如果3个内角均小于120°，

则在三角形内部对3边张角均为120°的点，

是三角形的费马点

费马点的位置第二种情况

如图2，如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点.

费马点的证明

如右图，在△ABC中，P为其中任意一点

连接AP，BP，得到△ABP

以点B为旋转中心，

将 △ABP逆时针旋转 60°得到△EBD

∵ 旋转60°，且BD=BP

∴ △DBP 为一个等边三角形

∴PB=PD

因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC

由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 

PA+PB+PC最小

若E、D、P共线时

∵ 等边△DBP

∴ ∠EDB=120°

同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120°

∴ P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点

动图展示1

动图显示，当P点不为费马点时， DE+PD+PC>CE

动图展示2

动图显示，当P点不为费马点时， DE+PD+PC>AE+AC

第二种情况不作证明，仅以动图为参考

02

费马点的求值技巧

① 费马点辅助线方法

以三角形任意一边与动点构成的三角形，

向外旋转60°

②费马点确定方法

以三角形任意两边向外作等边三角形，

连接对应顶点，交点即为费马点

③ 费马点求值

以三角形任意一边向外作等边三角形，

连接对应顶点，线段长即为所求

03

四边形中的费马点

凸四边形中的费马点

在凸四边形ABCD中，

费马点为两对角线AC、BD交点P.

凹四边形中的费马点

在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点B（P）.

小试牛刀

图1

图2

问题的提出：如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？

①问题的转化：把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP`C`，连接PP`，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP`+P`C`的最小值的问题了，请你利用图1证明：；

②问题的解决：当点P到△ABC锐角的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，求∠APB和∠APC的度数；

③问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

考题再现（2016·盐城中考·26）

参考解答

关于费马点的应用，我们明天继续更新。

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