《圆》中难题专项训练（3）——中考备考系列[尖子生之路]

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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《圆》中难题专项训练（3）

(2018·广安)如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．

(1)求证：∠PCA＝∠ABC；

(2)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连结BE，若cos∠P＝4/5,CP＝10,求BE的长．

【图文解析】

【题干解读】

由“AB是⊙O的直径”可得到一系列的直角，进一步得到一系列的直角三角形，在不添加辅助线的情况下，可得到：∠ACB＝90⁰（即图中△ABC直角三角形；必要时可连接BE，连接AG、BG得到相应的直角三角形.

结合题中条件“CG⊥AB，垂足为D“可得到最常见且重要的基本图形——子母直角三角形（本公众号已有多篇文章）和对应的结论，如下图示：

由“PC切⊙O于点C“可添加”连接OC，同样得到OC⊥PC，如下图示：

对比上述两图，可得到以下结论：

【逐题解析】

（1）由题干解读中不难得到：

∠PCA＝∠BCO＝∠ABC.

（2）由“AE∥PC”可得∠BAE＝∠P，结合条件“cos∠P＝4/5”可得cos∠BAE＝4/5，为后续求BE的长提供了一个“平台”——直角三角形ABE.如下图示：

从已知条件“cos∠P＝4/5，CP＝10”，可得到：在Rt△POC中，OP＝CP/（cos∠P）=10/(4/5)=25/2，再由勾股定理,不难得到OC＝15/2，所以直径AB＝2OC＝15，如下图示：

【拓展延伸】

如图,已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦,CG⊥AB，垂足为D．

(1)求证：CA平分∠PCG；

(2)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CD于点F,连结BE,若cos∠P＝4/5,CP＝10,求EF的长．

答案：（1）略；（2）33/4.

（2018·金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm．沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D₁时，有AD₁＝30cm，∠B₁D₁C₁＝120°．

（1）图2中，弓臂两端B₁，C₁的距离为 ▲ cm．

（2）如图3，将弓箭继续拉到点D₂，使弓臂B₂AC₂为半圆，则D₁D₂的长为 ▲ cm．

【图文解析】

解题关键：从实际问题抽象出的图形及相关数据，和其中的等量关系，本题的重要隐藏条件是弓弦中“弦”及和弓臂弧BAC的长度保持不变．

（1）由题意可得B₁D₁＝ D₁C₁＝30cm，∠B₁D₁C₁＝120°，如下图示，连接B₁C₁交AD₁于点M，解直角三角形求得B₁C₁＝2 B₁M＝30√3；

（2）将弓箭继续拉到点D₂，使弓臂B₂AC₂为半圆，如下图示：

注意本题的另一隐藏条件，弧BAC＝弧B₁AC₁＝弧B₂AC₂，已知B₂AC₂为半圆，设半径为r，

【反思】从实际问题抽象出的图形及相关数据和其中的等量关系，本题的重要隐藏条件是弓弦中“弦”及和弓臂弧BAC的长度保持不变．在解实际运用试题时，常常会出现这样的隐藏条件，如果不善于利用，显然问题无法得到解决．所以在审题时，务必要认真读好“试题”，读出题目中的有用信息，养成良好的审题习惯．

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（2018·泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=5/13，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心、PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 .