纯函数相关综合（9）（2019版）——压轴系列[尖子生之路]

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纯函数相关综合（9）（2019版）

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【试题】已知抛物线y=ax²+bx(a>0)的对称轴是y轴，其中点M，P，N在抛物线上从左到右依次排列，直线PQ∥y轴交MN于点Q．

（1）若抛物线经过点（-2，1），

①求抛物线解析式；

②当MN∥x轴，且△MNP为直角三角形时，求PQ的长；

（2）过点M作MA⊥PQ，垂足为A，过点N作NB⊥PQ，垂足为B，求证：PQ＝a·MA·NB．

【图文解析】

（1）①基本常规题，不解析，答案为y=x²/4．

②如下图示：

得MQ＝n-m，NQ＝-m-n，

　PQ＝(m²-n²)/4．

根据抛物线的对称性，得∠NMP和∠PMN均不可能是直角．因此△MNP若为直角三角形，只可能是∠MPN为直角，此时不难得到∠MPQ＝∠PNQ，所以tan∠MPQ＝tan∠PNQ．得MQ/PQ＝PQ/NQ，得PQ²＝MQ×NQ.

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（2）【原题再现】已知抛物线y=ax²+bx(a>0)的对称轴是y轴，其中点M，P，N在抛物线上从左到右依次排列，直线PQ∥y轴交MN于点Q．过点M作MA⊥PQ，垂足为A，过点N作NB⊥PQ，垂足为B，求证：PQ＝a·MA·NB．

【图文解析】

由（1）知：抛物线为y=ax²，可设M（m，am²），N(n，an²)，P(t，at²)．如下图示．

设直线MN为y=kx+c，将点M、N的坐标代入，得

所以直线MN为y=a(m+n)x-amn．

进一步，得Q（t，a(m+n)t-amn）．

所以PQ＝a(m+n)t-amn－at²

=a(mt+nt-mn-t²)．

　　MA＝t-m，NB=n-t．

所以MA·NB＝（t-m）(n-t)=mt+nt-mn-t²．

所以PQ＝a·MA·NB．

【拓展】已知抛物线y=ax²，其中点M，P，N在抛物线上从左到右依次排列，直线PQ∥y轴交MN于点Q．当MN∥x轴，且△MNP为直角三角形时，用含a的代数式表示PQ的长；

【答案】PQ＝1/a．

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