2019年辽宁铁岭中考解答压轴（三角形与全等相似）——动点与特殊图形系列｜压轴试题解析

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中考解答压轴（三角形与全等相似）

（2019•铁岭）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．

（1）如图1，当∠B＝45°时，线段AG和CF的数量关系是　　．（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．（3）若AB＝6，DG＝1，cosB＝3/4，请直接写出CF的长．【快速查找本公众号文章】视频演示

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第一问【图文解析】（1）如下图，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAE＝∠B＝45°，BE＝EC＝AE，∠BAE＝∠EAC＝∠C＝45°，再通过证明两三角形全等，可得证．
第二问
（2019•铁岭）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．
【图文解析】如下图，连接AE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAC＝120°，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，求得∠BAE＝∠B＝30°．进一步，求得∠GEF＝∠AEC＝60°，得∠AEG＝∠CEF，所以△AGE∽△CFE，得AG：CF＝AE：CE＝1：2，所以AG＝1/2CF．

第三问
（2019•铁岭）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．（3）若AB＝6，DG＝1，cosB＝3/4，请直接写出CF的长．
【图文解析】分两种情况：
①当G在DA上时，如下图示，连接AE．易证△AGE∽△CFE，得AG/CF＝AE/CE．
过点A作AH⊥BC于点H，可得如下图示的相关结论，所以AG/CF＝AE/CE＝4/5，所以2/CF＝4/5，解得CF=5/2．

②当点G在BD上，如下图，方法同上．
可求得CF＝5．

综上所述，CF的长为2.5或5．
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