中考压轴｜纯代（函）数系列（5）

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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【例1】定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数C₁图象上一点，过点M作l⊥x轴，如果二次函数C₂的图象与C₁关于l成轴对称，则称C₂是C₁关于点M的伴随函数如图2，在平面直角坐标系中，二次函数C₁的函数表达式是y=－2x²+2，点M是二次函数C₁图象上一点，且点M横坐标为m，二次函数C₂是C₂关于点M的伴随函数．（1）若m=1，①求C₂的函数表达式；②点P(a，b₁)，Q(a+1，b₂)在二次函数C₂的图象上，若b₁≥b₂，a的取值范围为______．（2）过点M作MN∥x轴，①如果MN＝4，线段MN与C₂的图象交于点P，且MP：PN＝1：3，求m的值．②如图3，二次函数C₂的图象在MN上方的部分记为G₁，剩余的部分沿MN翻折得到G₂，由G₁和G₂所组成的图象记为G．以A(1，0)、B(3，0)为顶点在x轴上方作正方形ABCD直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．

【图文解析】（1）①抛物线C₁:y=－2x²+2的顶点坐标为（0，2），当x=1，y=0．即当m=1时，M（1，0），如下图示，根据对称性，得抛物线C₂的顶点坐标为（2，2），同时抛物线的开口方向和大小与C₁相同，所以抛物线C₂的解析式为y=－2(x－2)²+2=－2x²+8x+6．

②法一：如下图示，若b₁≥b₂，则a的取值范围为a≥3/2．

法二：直接计算判断，依题意，得b₁-b₂=[－2(a－2)²+2]-[－2(a+1－2)²+2]=-4a+6．当b₁≥b₂时，-4a+6≤0，解得a≥3/2．
（注：尽管直接计算对于本题简单，但图象法是常法、通法，有着直接计算法无法替代的作用，务必掌握．）（2）问题再现：过点M作MN∥x轴，①如果MN＝4，线段MN与C₂的图象交于点P，且MP：PN＝1：3，求m的值．【图文解析】显然抛物线C₂的对称轴为直线x＝2m，由M、N的位置不同，需分两种情况，如下图示：

当m＞0时,2m=(m+1+m)/2,解得m=1/2;
当m＜0时,2m=(m-1+m)/2,解得m=-1/2.

综合所述，m=1/2或-1/2．（2）②问题再现：
过点M作MN∥x轴，②如图3，二次函数C₂的图象在MN上方的部分记为G₁，剩余的部分沿MN翻折得到G₂，由G₁和G₂所组成的图象记为G．以A(1，0)、B(3，0)为顶点在x轴上方作正方形ABCD直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．

【图文解析】
②当m=1/2时，如下图示，C₂的顶点恰在AD上，此时G与正方形有2个公共点，

当1/2<m<1时，G与正方形ABCD有三个公共点，

当m=1时，直线MN与x轴重合，G与正方形有三个公共点，

当1<m<3/2时，G与正方形ABCD有五个公共点，

当m=3/2时，G的顶点与点C(3,2)重合，且G对称轴左侧部分与正方形有三个公共点，

当3/2＜m＜2时，G与正方形ABCD有四个个公共点，

当m=2时，G过点B(3，0)且G对称轴左侧部分与正方形有两个公共点，

综上所述，当m=2或1/2<m≤1时，G与正方形ABCD有三个公共点．

【例2】定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣y，x）．（1）若点A（2，1）的变换点A′在反比例函数y=k/x的图象上，则k=　　；（2）若点B（2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b上，则这条直线对应的函数关系式为　　，∠BOB′的大小是　　度．（3）点P在抛物线y=x²﹣2x﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N，设点P的横坐标为m，当正方形PMP′N的对角线垂直于x轴时，求m的取值范围．（4）抛物线y=（x﹣2）²+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，求n的值．【图文解析】（第（1）（2）小题均为常规基本题，不做分析，只给出解题过程）（1）∵A（2，1）的变换点为A′（－1，2），把A′（－1，2）代入y=k/x中，得k=－2．（2）点B（2，4）的变换点B′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y=ax+b中．

（4）抛物线的顶点坐标为（2，n），再由菱形的性质，点P'的坐标为（2，﹣n）．下面分两种情况：
①当点P在y轴左侧时，如下图示．

点P的坐标为(-2,-n).代入y=(x-2)²+n,得-n=(-2-2)²+n，解得n=-8．
②当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（﹣n，﹣2）．代入y=（x﹣2）²+n，得﹣2=（﹣n﹣2）²+n．解得：n₁=﹣2，n₂=﹣3．如下图示，

综上所述,n=-8,n=-2,n=-3．【反思】解题的关键是理解题意，画出符合题意的图形，再结合图象分析，同时注意分类讨论的思考问题，学会用方程的思想解决问题．

【例3】如图，抛物线F：y=ax²+bx+c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a′x²+b′x+c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．（1）当a=1，b=﹣2，c=3时，求点C的坐标（直接写出答案）；（2）若a、b、c满足了b²=2ac①求b：b′的值；②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

【图文解析】
（1）由于抛物线F′由抛物线F：y=x²-2x+3＝（x-1）²+2平移所得，所以a=a′=1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，所以c=c′=3．再根据抛物线F的顶点P(1，2)，得D(1，0)，然后将D的坐标代入抛物线F′(此时解析式为y=x²+b′x+3)，解得b′＝-4，进一步得C（3，0）．

简，得b²﹣2bb'+4ac＝0．将b²=2ac（已知）代入，得3b²﹣2bb'＝0．因b≠0，所以b：b′=2：3．②由图象中可知，四边形OABC的各点坐标均可用a、b、c表示出来．其中点O（0，0）、C（0，c），而点B坐标可通过直线OP与抛物线F的解析求解，点C的坐标是抛物线F′与x轴的另一交点．

【反思】又一道计算说理的试题，关键是敢于进行含参计算．

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