622分钟几何画板视频教程
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【2020·杭州】如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长；（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE=PF；②若DF=EF，求∠BAC的度数．
【图文解析】
（1）法一：如下图解：
法二：易证得△OEF为顶角为120°的等腰三角形，进一步可得EF＝√3OE＝√3/2.（实际上OB恰好是EF的垂直平分线）
法三：如下图解，可得△BEF为等边三角形，∠AFB＝90°，得EF＝BF＝AF×tan∠A＝√3/2.
（2）①法一（中点——中位线，与标答类似，但不完全一样）：图中多个中点，联想到“三角形的中位定理”，取OB的中点，连接EM、FM，BC，如下图示：
在△ABC中，由中位线定理，得OE＝0.5BC.在△BOC中，由中位线定理，得：FM∥BC且FM＝0.5BC，得OE与FM平行且相等，所以PE＝PF.法二～法十：（利用平行线分线段成比例定理）
注意题中的条件，分离出常见基本图形：
则原题就转化为：已知OA：OC＝2：1，AE：BE＝1：1，求证：PE：PF＝1：1（或求PE：PF的值）. 这恰好与之前已发布的公众号文章完全一样，文章标题如下（可直接点击打开）
九下尖子生培优系列(78) ——相似（3）该篇文章的试题与解析如下：
【例题】如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知CD/BD=n，求AE：BE的值.
【解析】本题有超过12种以上的解法（均类似），过图中任意点作任意一条线段的平行线均可求出（均根据平行线分线段成比例定理），只是计算有繁有简，下面仅提供五种常用的解法。为了书写方便，由CD/BD=n不妨设BD=1，则CD=n.法一：过F作BC的平行线交AB于M，如下图示，不难证得M是AB的中点.
从而AE＝AM－ME＝2nt，因此AE：BE＝2nt：2(1+n)t＝n/(1+n).
法二：过D点作DM∥AB交CE于M，如下图示，得：法三：过D点作DM∥CE交AB于M，如下图示，得：
法四：过A点作AM∥CF交BC的延长线于M，如下图示，得：
法五：过F点作FM∥AB交BC于M，如下图示，得：
【反思】本题的所有解法的本质都是利用“平行线分线段成比例定理”的相关知识. 【练习】如图，△ABC中，D在BC的反向延长线上，F在AD上，且AF：FD＝2：1，连CF并延长交AB于E，已知CD：BD=3：1，求AE：BE的值.【解析】与例题类似，同样有多种解法，仅以一种解法解析.由CD：BD=3：1，可设BD＝a，则CD＝3a，BC＝2a.过B点作BM∥AD交CF于M点，则有△BCM∽△DCF，再设BM＝t，不难得到DF＝1.5t.如下图示：
（2）【原题呈现】如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．
（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，②若DF=EF，求∠BAC的度数．
【图文解析】法一:如下图示：
进一步，得：
得△BDF是等腰三角形.又OB＝OD，得OF⊥BD.所以∠AOB＝90°.进一步，得△AOB是等腰直角三角形，因此∠BAC＝45°.也可这样理解：（如下图示）
（后面还有哦！）以下两篇文章为不同背景下的简单变式与延伸，发布在之前的本公众号文章中，原文章标题与链接如下：
2017-2018年度福建福州九上质检第16题解析
2018年福州屏东与泉七九下质检(一)联考倒二
原文如下：
2017-2018·福州九上质检第16题如图，在△ABC中，AB：AC＝7：3，∠BAC的平分线交BC于点E，过点B作AE的垂线段，垂足为D，则AE：ED＝__________.
【图文解析】
思路分析：从已知∠BAC的平分线和AE⊥BD这两个条件入手，不难得到下列常用辅助线（补形，常用，务必熟练掌握），如下图示： 相当于BD：FD＝1：1，AC：CF＝3：4，由此可以得到至少12种以上的解法，即过上图中的任意一点添加任意直线的平行线（含所添加的点或线），再根据“平行线分线段成比例“定理，均可求出，之前本公众号九下尖子生培优系列(78)——相似（3）已经做详细解析（可点击标题打开）.此处只提供过D点作平行线的两种最简便的解法， 如下图示：
【反思】典型且常用的试题，充分利用“平行线分线段成比例“定理，务必熟练掌握并体会解题思路。
(2018年福州屏东与泉七九下质检(一)联考倒二)如图,在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，动点Q在边AB上，连接CQ，将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，延长QN交直线CD于点M．(1)当BQ=1时，求DM的长；(2)过点D作DP⊥CQ于点E，交直线BC于点P，直线QN与直线DP交于点F．当DF/DE＝1/3时，求BQ的长．
【图文解析】（1）由“对折”不难得到“等腰”（重要），如下图示：
设DM＝x，将相关数据标上，如下图示：在Rt△CMN中，由勾股定理，得：42+(5+x)2=(6+x)2 解得：x=2.5. 即DM＝2.5.（2）先画出符合是题意的图，并由题意，不难理解需分两种情况，如下图示（本题画图是关键）：下面先分析情形一（即点M在CD的延长线上时），不难得到MD＝MF，即△MDF为等腰三角形，如下图示：
结合已知条件DF/DE＝13和DP⊥CQ，可添加如下图示的辅助线：首先，由“三线合一”得DH＝0.5DF.又DF/DE＝1/3，可得DH/DE＝1/6.其次，由MH∥CQ（易证），得DM/CD＝DH/DE＝1/6，成功进行“斜化直”转化（几何中常见的解题思路，务必熟练掌握），得DM＝1/6CD＝1.最后，类似第一问的解法，利用勾股定理，可求得BQ的长，如下图示：在Rt△CMN中，由勾股定理，得：
42+(6+1－t)2=(6+1)2解得t=7－√33. 即BQ＝7－√33.情形二：（即点M在边CD上时），类似于情形一，可求得BQ＝2，如下图示：（最后一步计算，可直接利用勾股定理，求出MN后，再进行加减）.综上所述，BQ＝BQ＝7－√33或2.
当然，本题也可通过如下方法求解：
还可以用以下方法（下面只画第二种情况（图形空间占的小些），第一种情况类似）：
还有……，至少12种以上的解法（还不包括建系解析法、辅助圆法、旋转法，对称法等.哈哈！本公众号中类似的试题的相应解法均有多篇文章，有兴趣的朋友，通过本文开始提供的方法快速搜索到本公众号的相关文章）.实际上，就是以下这个基本图形：
其实，过这个图形中的任意一点作任意一线段的平行线，均可得解，主要思路用的都是平行线分线段成比例定理（或相似），本公众号中已有文章详细说明其多种解法：九下尖子生培优系列(78)——相似（3）（直接点击标题打开），文中的试题如下：【反思】在平行四边形中，有折叠（对称）必有“等腰“，同时在矩形的背景下有很多平行与直角，再与已经条件综合，不难得到一系列的相似或相关比例，当然也可用三角函数定义来求解.
【拓展】如果在题干不改变的情况下，能否通过动态变形为如下图形，编出或得到一些相关的有趣的试题或结论呢？请注意观察与原题图的区别与联系.(别忘了给作者一个鼓励，点个赞哦！)往期推荐
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